Abbildung von K nach K[x] - surjektiv

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02.01.2012, 12:53	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung von K nach K[x] - surjektiv Meine Frage: Hallo! Ich komm hier nicht weiter, vielleicht kann mir jemand einen Wink geben. Also, wir haben einen Körper K und einen Polynomring K[x] über K und ein f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K[x] und eine Abbildung $\begin{eqnarray} \pi : K \to R/ \left(f\right); \lambda \mapsto \lambda + Rf \end{eqnarray}$ Ich will nun zeigen, dass diese Abbildung immer dann surjektiv ist, wenn es (a,b) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K² \ {(0,0)} gibt, mit f = aX + b Meine Ideen: Ich bin mir nicht sicher, wie diese Abbildung surjektiv sein soll. Ich stelle mit dabei ein beliebiges c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K vor, so dass das Bild c + RaX + Rb aussieht. Also erreiche ich so viele Polynome der Form $\begin{eqnarray} a_{1}x + a_{0} \end{eqnarray}$ . Aber nicht alle, da mein $\begin{eqnarray} a_{1} \end{eqnarray}$ doch immer nur durch gegebenes a bestimmt wird... ...es würde vieles einfacher sein, wenn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aus n-Tupeln bestehen dürfte... Darf es das vielleicht?
02.01.2012, 13:12	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von K nach K[x] - surjektiv hallo qwert, diese aufgabe gefällt mir, und übrigens ist lambda natürlich ein einfaches element aus K und kein n-tupel. Wollte fragen, was R in diesem fall ist, ist das auch nur eine konstante aus K ? ( das hast du vergessen zu schreiben). gruss ollie3
02.01.2012, 13:23	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von K nach K[x] - surjektiv Oh! Stimmt, das hatte ich vergessen. R ist in diesem fall ein Element aus K[x], also dem Polynomring...
02.01.2012, 13:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
R soll wohl eher der Polynomring selbst sein. Also $\begin{eqnarray} R = K[X] \end{eqnarray}$ . Dass R ein Element aus dem Polynomring sein soll, macht in diesem Kontext keinen Sinn.
02.01.2012, 13:42	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber macht denn dass Sinn: $\begin{eqnarray} \pi : K \to K\left[x\right]/ \left(f\right); \lambda \mapsto \lambda + K\left[x\right] \cdot f \end{eqnarray}$
02.01.2012, 13:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so macht das Sinn. Hier wurde ja gerade $\begin{eqnarray} R = K[X] \end{eqnarray}$ eingesetzt. Der (schnellste) Lösungsweg für diese Aufgabe hängt stark davon ab, wie viel Theorie du dazu schon zur Verfügung hast. Deine Unvertrautheit mit der Materie lässt darauf schließen, dass es nicht viel ist. Deswegen sollten wir das elementar angehen: Betrachte 2 Fälle: 1. Fall: $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} f=b \neq 0 \end{eqnarray}$ ist das konstante Polynom. Was ist denn dann mit $\begin{eqnarray} K[X]/(f) \end{eqnarray}$ los? 2. Fall: $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ . Nimm dir ein beliebiges $\begin{eqnarray} g \in K[x] \end{eqnarray}$ und mache Division mit Rest durch f, um zu erkennen, dass $\begin{eqnarray} g+fK[X] = \lambda +fK[X] \end{eqnarray}$ mit einem geeigneten $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$
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02.01.2012, 15:06	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha. Stimmt schon, bin sehr unvertraut. Also. 1. Fall $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} f = b \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \pi: \lambda \mapsto \lambda + b \cdot K \left[X\right] \end{eqnarray}$ . Da aber in K[X] / (b) abgebildet wird ist K[X]b = $\begin{eqnarray} \overline 0 \end{eqnarray}$ und man erhält $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2. Fall f = ax + b. Naja wieder $\begin{eqnarray} \lambda \mapsto \lambda + K\left[X\right] \cdot \left(ax+b\right) \end{eqnarray}$ K[X](ax + b) ist wieder die Restklasse Null und wir haben quasi $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ als eindeutiges, konstantes Polynom.
02.01.2012, 15:37	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist total falsch, oder, was ist denn mit $\begin{eqnarray} K[X]/(f) \end{eqnarray}$ los, wenn $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ wird. Ich check's nicht. Ist das denn dann eine Konstante?
02.01.2012, 15:46	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich hätte eigentlich intuitiv vermutet, dass ich ohne Fallunterscheidung ein beliebiges $\begin{eqnarray} g = \sum\limits_{k=1}^n a_{k}x^{k} \in K[X] \end{eqnarray}$ nehme, und dieses dann mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ multipliziere. Dann erhalte ich doch ebenfalls eine surjektive Abbildung.
02.01.2012, 21:29	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
@ tmo. Ich finde deinen Ansatz super. Es tut mir leid, dass ich nicht auf die Lösung direkt eingegangen bin. Wenn du noch Lust hast, würde ich mich über eine Antwort sehr freuen. Ich kann mir nämlich unter k[X] / (f) nichts vorstellen. Eigentlich ist das Verständnisproblem schon ein wenig früher entstanden, nämlich beim Modulorechnen. Wir haben unsere Äquivalenzklassen auf einem kommutativen Ring R modulo b so definiert: $\begin{eqnarray} [x]_{\equiv } = \left\{x + yb: y \in R\right\} \end{eqnarray}$ und unsere Faktormenge so $\begin{eqnarray} R/\left(b\right) = \left\{x + Rb : x \in R\right\} \end{eqnarray}$ . Wenn ich richtig verstehe, dann ist die Summe der Äquivalenzklassen die Faktormenge, richtig? Nun. Warum muss bei der Aquivalenzklasse das y aus R sein? Beispiel: $\begin{eqnarray} \mathbb Z / (5) \end{eqnarray}$ Jetzt ist Restklasse 2 dann Restklasse 2 + Restklasse 0 mal Restklasse 5. und Restklasse 27 wäre Restklasse 2 + Restklasse 5 mal Restklasse 5 also Restklasse 2 + Restklasse 0 mal Restklasse 5 und damit ja nicht mehr eindeutig. Ich weiss schon, ich bin ziemlich sehr am Anfang. Wie ist das nun mir der Aufgabe. Wenn ich also a gleich 0 setze, dann erhalte ich f = b und K[X] / (b) als Bildmenge. $\begin{eqnarray} \lambda \mapsto \lambda + K[x] \cdot b \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \left[\lambda \right] \end{eqnarray}$ ja eine Äquivalenzklasse, ja? Und diese ist surjektiv - gut, darum kann ich mich später kümmern. Ich will's nur erstmal vom Prinzip her verstehen. Ok, und dann der Fall wenn f = ax + b. Du sagst, ich kann mir dann aus K[x] ein g schnappen? Erstmal die Frage, wie schaut denn K[x]aus, wenn ich ein f mit Grad 1 habe? Ich nehme mir also ein g mit Grad 1 und zwar soeins, dass nur eine Konstante übrigbleibt. Und wieder: Lambda ist dann die Restklasse? Ne, oder? Mir ist wirklich jede einzlene Frage wichtig - ich will ja irgendwie weiterkommen.
03.01.2012, 06:21	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo quert, oh je, du hast ja viele probleme, das habe ich schon vorausgesehen. Ich gehe jetzt mal auf den letzten fall ein, den der tmo beschrieben hat. Wenn die abbildung surjektiv ist, heisst das ja, das man bei unserer abbildung mit einem geeigneten lambda jedes element aus K[X]/(f) erzeugen kann. Und wie gesagt, man nimmt sich dann irgendein beliebiges g aus K[X] und kommt dann, wenn man g durch f dividiert, in eine bestimmte "restklasse", und man kann sich überlegen, dass man so alle elemente aus K[X]/(f) "abdeckt". gruss ollie3
03.01.2012, 18:52	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo ollie! Ja, die gute Lineare Algebra macht mir echt zu schaffen. (vor allem, weil ich ständig unseren prof vor augen habe, der komische dinge mit redewendungen wie: "und ganz offensichtlich ergibt sich daraus..." oder "und das ist ja ganz klar!" kommentiert und ähnliches und ich sitze zuhause und bei mir ist selbst nach einigen stunden weder etwas offensichtlich noch klar. sry. das ist einfach frust aber ich lasse mich davon nicht abbringen. aber leider verstehe ich auch eure tipps nicht ganz. Also: $\begin{eqnarray} \lambda \mapsto \lambda + K\left[X\right] \cdot \left(ax + b\right) \end{eqnarray}$ . Ich nehme mir also ein g aus K[x] Um es dann durch f zu teilen. Wie wäre es mit $\begin{eqnarray} g = ax + b + \lambda \end{eqnarray}$ Dann teile ich es durch f und erhalte $\begin{eqnarray} g = 1 \cdot f + \lambda \end{eqnarray}$ . So???
04.01.2012, 08:47	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo quert, nein, die 1 ist in deiner letzten gleichung falsch, denn g kann ja ein polynom beliebigen grades sein, und f ist ja nur ein lineares polynom, und wenn man zum beispiel ein polynom 5. grades durch ein lineares polynom dividiert, erhält man ein polynom 4.grades und einen rest, der in diesem fall das lambda ist, und der rest, der dann nur noch eine konstante sein kann. (probier das einfach mal aus, und dann wirst du verstehen, worauf der tmo hinaus wollte). gruss ollie3
04.01.2012, 11:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht sollte man erstmal klarmachen, was hier überhaupt zu zeigen ist. Also ich betrachte jetzt zunächst mal den "nichttrivialen" Fall $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ (Der andere Fall war zwar auch noch nicht klar, aber der ist gewissermaßen pathologisch, der ist sofort abgehandelt). Du hast also $\begin{eqnarray} f = ax+b \end{eqnarray}$ , also ein Polynom vom Grad 1. Nun sollst du zeigen, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} K \to K[x]/(f), \lambda \mapsto \lambda + fK[x] \end{eqnarray}$ surjektiv ist. Umformuliert bedeutet das einfach nur: Jedes Element aus $\begin{eqnarray} K[x]/(f) \end{eqnarray}$ hat die Form $\begin{eqnarray} \lambda + fK[x] \end{eqnarray}$ für ein geeigntes $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ . Nun solltest du über den Faktorring $\begin{eqnarray} K[x]/(f) \end{eqnarray}$ 2 Dinge auf jeden Fall wissen (Wenn man die weiß, kann man schon viel anfangen): 1. Jedes Element aus $\begin{eqnarray} K[x]/(f) \end{eqnarray}$ hat die Form $\begin{eqnarray} g+fK[x] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g \in K[x] \end{eqnarray}$ 2. Es gilt $\begin{eqnarray} g+fK[x] = h+fK[x] \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} h-g \end{eqnarray}$ ein Vielfaches von f ist, also $\begin{eqnarray} h-g \in fK[x] \end{eqnarray}$ Um jetzt also die Aussage zu zeigen, müssen wir folgendes tun: Wir nehmen uns ein beliebiges Element, also $\begin{eqnarray} g+fK[x] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g \in K[x] \end{eqnarray}$ . Und wir müssen zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ gibt, mit: $\begin{eqnarray} g+fK[x] = \lambda+fK[x] \end{eqnarray}$ , gleichbedeutend damit, dass $\begin{eqnarray} g-\lambda \end{eqnarray}$ ein Vielfaches von f ist. Und das macht man eben so: Man nimmt sich ein beliebiges solches g. Und nun gucke dir nochmal genau an, was die Division mit Rest besagt, wenn man dieses beliebige g durch f mit Rest teilt. Wenn du das machst, dann steht die Behauptung sofort da, nämlich, dass es solch ein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ wie gewünscht gibt.
06.01.2012, 23:06	gomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schon mal für eure hilfreichen Antworten!! Die Aufgabe hat noch eine weitere Teilaufgabe, und ich habe zwar eine Idee, glaube aber, dass sie falsch ist... b) Es sei nun K = $\begin{eqnarray} F_{11} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f= 4\cdot x + 1 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie ein $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda \to x^{4} + x^{2} + 5 + K[x]f \end{eqnarray}$ . Für f könnte man ja einfach die obige Gleichung einsetzen, aber ich weiß nicht, was ich mit dem K[x] anfangen soll? Oder ist dann einfach $\begin{eqnarray} \lambda = x^{4} + x^{2} +5 \end{eqnarray}$ ? Obwohl das ja dann kein Element vom Körper ist, oder?
07.01.2012, 20:22	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ollie3 und tmo. Vielen Dank für die ausführlichen erklärungen. ich glaube, so langsam dämmert es auch mir. angenommen, $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ sei surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ jedes Element aus $\begin{eqnarray} K[x] / f \end{eqnarray}$ hat die Form $\begin{eqnarray} \lambda + K[x] \cdot f \end{eqnarray}$ mit geeignetem $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Dies ist zu beweisen. Jedes Element aus $\begin{eqnarray} K[x]/ f \end{eqnarray}$ besitzt die Form $\begin{eqnarray} g + K[x] \cdot f \end{eqnarray}$ . Mit einem beliebigem $\begin{eqnarray} g \in K[x] \end{eqnarray}$ Also muss gelten: $\begin{eqnarray} \lambda + K[x] \cdot f = g + K[x] \cdot f \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \lambda - g = K[x] \cdot f \end{eqnarray}$ Die Polynomdivision von g durch f mit Rest ergibt: $\begin{eqnarray} g = f \cdot q + r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q \in K[x] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r \in K \end{eqnarray}$ da f per Definition ein lineares, bzw ein konstantes Polynom ist. Eingesetzt in die Gleichung mit der Differenz erhält man $\begin{eqnarray} f \cdot q + r - \lambda = K[x] \cdot f \end{eqnarray}$ und da r und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ feste Variablen sind und $\begin{eqnarray} f \cdot q \end{eqnarray}$ ein Vielfaches von f ergibt sich $\begin{eqnarray} r = \lambda \end{eqnarray}$ Hallo Kommilitone! Falls das da oben kein Schmarrn sein sollte: Probier's mal mit der oben genannten Polynomdivision mit Rest und bedenke, dass du dich in $\begin{eqnarray} \mathbb F_{11} \end{eqnarray}$ befindest, und dort beispielsweise 3 geteilt durch 9 kein Bruch ist.

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