Borel-Cantelli-Lemma

02.01.2012, 16:16

loyloep

Borel-Cantelli-Lemma

Bei dem Versuch ein 6-stelliges Passwort zu knacken, das aus den Buchstaben A-Z und den Ziffern 0-9
besteht, werden zufällig gleichverteilt alle möglichen Kombinationen durchprobiert.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird niemals das richtige Passwort eingegeben?

b) Zeigen Sie, dass fast sicher irgendwann zweimal hintereinander die gleiche Kombination eingegeben
wird.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen.

02.01.2012, 16:54

Math1986

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RE: Borel-Cantelli-Lemma
Helfen ja, aber Ansätze musst du schon selbst liefern unglücklich

Was besagt das Borel-Cantell-Lemma?

Wie sieht der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum aus?

02.01.2012, 17:43

loyloep

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RE: Borel-Cantelli-Lemma

Zitat:

Original von Math1986
Was besagt das Borel-Cantell-Lemma?

Was das Borel-Cantell-LEmma aussagt kann man beispielwsweise auf Wikipedia nachlesen. Ich weiss jeodch nicht, wie ich dieses LEmma auf die Aufgabenstellung anwenden soll.

Zitat:

Original von Math1986Wie sieht der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum aus?

Die Elementarereignisse bestehen aus den Ziffern 0 bis 9 und den Buchstaben A bis Z, also insgesamt aus 36 verschiedenen Zeichen.

Ein Ereignis $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ besteht aus einer sechstelligen Kombination der 36 verschiedenen Zeichen, also z.B. $\begin{eqnarray*} \omega = \{ 1,2,3,A,B,C \} \end{eqnarray*}$ . Wie berechnet man die Anzahl der Kombinationen?

Die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(\omega) = \end{eqnarray*}$ 1/Anzahl der Kombinationen.

02.01.2012, 17:52

Math1986

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RE: Borel-Cantelli-Lemma
Ich weiß was das Lemma besagt, die Frage ging an dich.

Überleg dir erst einmal, wie viele verschiedene Passwörter man theoretisch bilden kann.
[WS] How-to Kombinatorik - Variation mit Widerholung

$\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ sei jetzt die Wahrscheinlichkeit, in n Versuchen das richtige Passwort zu erraten, wie sieht diese aus?
Wir haben hier n-mal unabhängige Versuchen, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt da zugrunde?

02.01.2012, 21:32

loyloep

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Zitat:

Original von Math1986
Überleg dir erst einmal, wie viele verschiedene Passwörter man theoretisch bilden kann.
[WS] How-to Kombinatorik - Variation mit Widerholung

Anzahl der Kombinationen: $\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ mit n = 36 und k = 6, also $\begin{eqnarray*} n^k = 36^6 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Math1986
$\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ sei jetzt die Wahrscheinlichkeit, in n Versuchen das richtige Passwort zu erraten, wie sieht diese aus?

$\begin{eqnarray*} A_n = \frac{n}{36^6} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Math1986
Wir haben hier n-mal unabhängige Versuchen, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt da zugrunde?

Geometrische Verteilung.

02.01.2012, 23:16

Math1986

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Zitat:

Original von loyloep
Anzahl der Kombinationen: $\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ mit n = 36 und k = 6, also $\begin{eqnarray*} n^k = 36^6 \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig.

Zitat:

Original von loyloep
$\begin{eqnarray*} A_n = \frac{n}{36^6} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. Demnach hätte man ja bei $\begin{eqnarray*} n>36^6 \end{eqnarray*}$ ja eine Wahrscheinlichkeit von über 1 geschockt

Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert, nicht addiert!

Zitat:

Original von loyloep

Geometrische Verteilung.

Nein, Binomialverteilung: Du hast eine Fest vorgegebene Anzahl Versuche n, und interessierst dich dafür, in diesen n Versuchen mindestens einen Treffer zu landen.

04.01.2012, 15:38

loyloep

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von loyloep
$\begin{eqnarray*} A_n = \frac{n}{36^6} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. Demnach hätte man ja bei $\begin{eqnarray*} n>36^6 \end{eqnarray*}$ ja eine Wahrscheinlichkeit von über 1 geschockt

Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert, nicht addiert!

Also: $\begin{eqnarray*} P(A_n) = \frac{1}{36^6} \cdot \frac{1}{36^6} \ldots \end{eqnarray*}$ das ganze n-mal, also $\begin{eqnarray*} P(A_n) = \frac{1}{36^{6n}} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit ist, in n Versuchen das richtige Passwort zu erraten, dann müsste doch mit größerem n auch die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ größer werden. Wenn nun aber die Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert und nicht addiert werden, dann wird die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ allerdings kleiner. So ganz klar ist mir nicht, weshalb $\begin{eqnarray*} P(A_n) = \frac{1}{36^{6n}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von loyloep

Geometrische Verteilung.

Nein, Binomialverteilung: Du hast eine Fest vorgegebene Anzahl Versuche n, und interessierst dich dafür, in diesen n Versuchen mindestens einen Treffer zu landen.

Für die Binomialverteilung gilt: $\begin{eqnarray*} B_{n,p}(k)= \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

Der Aufgabenteil a) lauetet: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird niemals das richtige Passworteingegeben? D.h. wir haben für die Binomialverteilung: $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p = \frac{1}{36^6} \end{eqnarray*}$

05.01.2012, 12:59

Math1986

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Zitat:

Original von loyloep

Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von loyloep
Geometrische Verteilung.

Nein, Binomialverteilung: Du hast eine Fest vorgegebene Anzahl Versuche n, und interessierst dich dafür, in diesen n Versuchen mindestens einen Treffer zu landen.

Ja, und damit ist
$\begin{eqnarray*} P(A_n)= \left(1-p\right)^n=\left(\frac{36^6-1}{36}\right)^n \end{eqnarray*}$
Diese Wahrscheinlichkeit wird kleiner, wenn n größer wird, das sollte nun hoffentlich intuitiv klar sein.

Hierrauf kannst du nun das Borel-Cantelli-Lemma anwenden.

05.01.2012, 15:43

loyloep

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Im Hinblick auf das Borel-Cantelli-Lemma stellt sich also die Frage, ob $\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 1} P(A_n) < \infty \end{eqnarray*}$ .

Mit Hilfe des Wurzelkriteriums ergibt sich, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 1} P(A_n) < \infty \end{eqnarray*}$ absolut konvergent ist. Und die Anwendung des Borel-Cantelli-Lemma ergibt schließlich, dass P(A) = 0, also mit der Wahrscheinlichkeit 0 wird niemals das richtige Passwort eingegeben.

05.01.2012, 15:59

loyloep

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Nun der Aufgabenteil b): b) Zeigen Sie, dass fast sicher irgendwann zweimal hintereinander die gleiche Kombination eingegeben wird.

Für die fast sichere Konvergenz $\begin{eqnarray*} A_n \rightarrow A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} P(\lim_{n \to \infty} A_n = A) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Wi ewende ich die iDefinition für die fast sichere Konvergenz auf die Aufgabenstellung an?

06.01.2012, 19:10

Math1986

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Auch hier gilt: Bestimme zunächst [A_n[/l], also die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal hintereinander das gleiche Passwort eingegeben wird, bei n Versuchen.

28.01.2012, 15:34

sChUhBiDu

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Die Wahrscheinlichkeit, dass es zweimal hintereinander passiert, dass das richtige PW erraten wird, müsste doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{36^6} \cdot \frac{1}{36^6} = p \end{eqnarray*}$ sein.
Da die Ereignisse Binomialverteilt sind gilt: $\begin{eqnarray*} B_{n,p}(2)= \binom{n}{2} p^2 (1-p)^{n-2} = P(A_n) \end{eqnarray*}$ . So das nun in die Summe eingesetzt ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 1} P(A_n) = \sum_{n \geq 1} \binom{n}{2} p^2 (1-p)^{n-2} \end{eqnarray*}$ . Ich hab nun das Problem die div. Minorante zu finden für diese Summe. Hat jemand eine Idee bzw. ist mein Ansatz bis hier richtig?

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