beweis über mengen

02.01.2012, 16:17

Christian_P

beweis über mengen

Ich möchte beweisen, dass: $\begin{eqnarray*} M \cup \emptyset=M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \cap \emptyset=\emptyset \end{eqnarray*}$
(jede Aussage für sich)
Ich hatte noch keine Vorlesung oder dergleichen zum Thema, alle Ideen sind auf meinem Mist gewachsen Augenzwinkern

1.) $\begin{eqnarray*} M \cup \emptyset=M \end{eqnarray*}$

meine Überlegungen: Ich möchte zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} M \cup \emptyset \end{eqnarray*}$ gleich der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist. Ich versuche zu zeigen, dass die beiden Mengen die gleichen Elemente besitzen müssen.

Die Leere Menge besitzt kein Element.

$\begin{eqnarray*} x \in M \cup \emptyset \quad \Leftrightarrow \quad \left(x\in M\quad\wedge\quad x\notin \emptyset \right) \quad \Leftrightarrow \quad x\in M \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} M \cap \emptyset=\emptyset \end{eqnarray*}$

angenommen:

$\begin{eqnarray*} x\in M \cap \emptyset \quad \Rightarrow \quad \left(x\in M \quad\wedge\quad x\in \emptyset \right) \quad \text{Widerspruch}\quad x\notin \emptyset\quad \Rightarrow\quad x\notin M \cap \emptyset \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} x\notin M \cap \emptyset \quad \Leftrightarrow \quad \left(x\notin M \quad\wedge\quad x\notin \emptyset \right) \quad \Leftrightarrow \quad x\notin \emptyset \end{eqnarray*}$

naja, so richtig zufrieden bin ich damit nicht unglücklich

Kann man das überhaupt so machen?

liebe Grüße Wink

02.01.2012, 17:51

Hoodaly

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RE: beweis über mengen
Hi,

ich denke, man kann das auf jeden Fall so machen, auch wenn ich es anders gemacht hätte.
zu 1) $\begin{eqnarray*} \emptyset \in M \wedge M \cup M = M \Rightarrow M \cup \emptyset = M \end{eqnarray*}$
zu 2) $\begin{eqnarray*} M\in\lnot\emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\in M \cap \emptyset \Rightarrow (x\in M \wedge x \notin \lnot\emptyset) \Rightarrow (x\in M \wedge x \notin M)~\text{(Falsch!)}~\Rightarrow x\notin M \cap \emptyset \quad \forall x \Rightarrow M\cap\emptyset=\emptyset \end{eqnarray*}$

LG Hoodaly

02.01.2012, 18:06

Airblader

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Zitat:

Original von Christian_P
$\begin{eqnarray*} x \in M \cup \emptyset \quad \Leftrightarrow \quad \left(x\in M\quad\wedge\quad x\notin \emptyset \right) \end{eqnarray*}$

Und womit begründest du diesen Schritt? Wende lieber die Definition von Vereinigungen/Schnitten an.

@ Hoodaly

Was soll denn bitte $\begin{eqnarray*} \neg \emptyset \end{eqnarray*}$ sein verwirrt

air

02.01.2012, 18:07

Hoodaly

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Hm.. das Komplementär smile

Schreibt man das nicht so? verwirrt

02.01.2012, 18:09

Airblader

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Wenn "das Komplementär" die Komplementärmenge meint: Nein. Und selbst wenn, so wäre $\begin{eqnarray*} M \in \neg\emptyset \end{eqnarray*}$ immer noch nichts sinnvolles.

air

02.01.2012, 18:13

Hoodaly

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Okay, Komplementärmenge.
Ich meinte eigentlich das, was bei Wikipedia unter Absolutes Komplement steht.

02.01.2012, 18:21

Iorek

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Dort steht aber auch, dass für eine sinnvolle Verwendung der Komplementärmenge, ein Mengenuniversum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ definiert sein muss. Das ist hier nicht gegeben. Und auch wenn es definiert wäre, so ist $\begin{eqnarray*} \emptyset\in M \end{eqnarray*}$ i.A. falsch.

02.01.2012, 19:02

Christian_P

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danke für die Antworten! smile

zu beweisen: $\begin{eqnarray*} M \cup \emptyset = M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in M \cup \emptyset \quad \Rightarrow \quad (x \in M \ \quad \vee \quad x \in \emptyset) \quad \Rightarrow \quad (x \in M \quad \wedge \quad x \notin \emptyset) \quad \Rightarrow \quad x \in M \end{eqnarray*}$

Ist diese Zeile ohne Weiteres umkehrbar?
Die andere Richtung muss man doch auch noch zeigen, oder verwirrt

02.01.2012, 19:10

Airblader

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Der mittlere Schritt mag mir einfach nicht einleuchten. Der Teil "oder es gilt Ausage A" ist logisch halt nunmal nicht das selbe wie "und es gilt nicht(A)".

Bis $\begin{eqnarray*} x \in M \vee x \in \emptyset \end{eqnarray*}$ ist es okay. Die Aussage $\begin{eqnarray*} x \in \emptyset \end{eqnarray*}$ ist immer falsch, aber da wegen des logischen "oder" wenigstens eine der beiden Teilaussagen stimmen muss, muss also $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gelten.

air

02.01.2012, 19:19

Christian_P

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Ah, dann muss ich das gar nicht hinschreiben bzw. meine Folgerung war falsch. Es ging mir eigentlich nur noch mal darum, meinen Schluss aufzuschreiben. Die oder-Beziehung ist also Entscheidungsgrundlage genug? Aha, manchmal kommt nur Müll herraus, wenn man zu viel hinschreibt.

Habe ich denn alle Formalitäten eingehalten? Oder anders gefragt: Würde ein Mathe-Prof. den Beweis durchgehen lassen?
Müsste ich noch "für alle" o.ä. schreiben?

Grüße

02.01.2012, 19:24

Airblader

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Ja, dass das für alle x gilt sollte da schon dranstehen. Es sollte gegebenfalls auch dranstehen, warum man den einen Teil einfach weglassen darf (nämlich weil es immer eine falsche Aussage ist).

Am Besten wäre es wohl, wenn du es nochmal sauber formuliert hinschreibst.

air

02.01.2012, 19:31

Christian_P

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$\begin{eqnarray*} \forall x:[ \, x \in M \cup \emptyset \quad \Rightarrow \quad (x \in M \ \quad \vee \quad x \in \emptyset \quad ) \quad \Rightarrow \quad x \in \emptyset \quad \text{falsche Aussage!} \quad \Rightarrow \quad x \in M ] \end{eqnarray*}$

etwa so?

02.01.2012, 19:40

Airblader

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Nein, das würde ich nicht so stehen lassen. " $\begin{eqnarray*} x \in \emptyset \end{eqnarray*}$ falsche Aussage!" folgt ja nicht aus dem Schritt links davon. Außerdem hättest du bisher nur eine Teilmengenbeziehung gezeigt.

air

02.01.2012, 19:44

Christian_P

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ich danke dir erstmal für deine Hilfe. Ich muss mir nochmal Gedanken darüber machen, aber heute nicht mehr Augenzwinkern

bis dann

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