Ziffernfolgen und Zusammenhänge

02.01.2012, 16:47

Muff Potter

Ziffernfolgen und Zusammenhänge

Folgender Gedankengang beschäftigt mich hobbymäßig. Bei der Entscheidung in welches Unterforum meine Frage gehört bin ich unschlüssig, deshalb poste ich es mal hier.

Also, ihr kennt ja Eulers Lösung des Basler Problems:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

Allgemein bewies Euler eine Formel für die geraden Exponenten der riemannschen $\begin{eqnarray*} {\zeta} \end{eqnarray*}$ -Funktion

$\begin{eqnarray*} \zeta(2k) = (-1)^{k-1} \frac{(2\pi)^{2k}}{2(2k)!} B_{2k} \end{eqnarray*}$ .

wobei $\begin{eqnarray*} B_{2k} \end{eqnarray*}$ die 2k-te Bernoulli-Zahl darstellt.

Für ungerade $\begin{eqnarray*} {\zeta} \end{eqnarray*}$ -Werte gibt es (bisher) keine bekannte geschlossene Lösung.

Nun hat die Lösung für gerade Exponenten ja eine Form, in der $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auftaucht und sonst nur ganze Zahlen als rationaler Bruch.

In dem Buch Gamma von Julian Hanvil gibt es die Idee, man könnte doch mal annehmen, dass auch für ungerade Exponenten irgendwas mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und ganzen Zahlen herauskommt, zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3} = \frac{p}{q}\pi^\frac{r}{s} \end{eqnarray*}$

mit irgendwelchen ganzen Zahlen p,q,r,s.

Da $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bis auf unglaubliche viele Ziffern bekannt ist (ein paar Milliarden Ziffern oder so, wo ist man da jetzt?) und man die linke Seite der Gleichung bestimmt auch bis auf ein paar Milliarden Ziffern oder so ausrechnen kann, müßte man jetzt durchprobieren, für welche Ziffern p,q,r,s es am besten passt. Durchprobieren ist zwar nicht besonders mathematisch, aber besser als nix. verwirrt

Bestimmt hat das schon mal jemand gemacht, weiß darüber vielleicht jemand etwas?

Aber wenn man jetzt nicht durchprobieren will, gibt es da ja ein allgemeineres Problem: Angenommen man hat eine Zahl, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auf sehr viele Ziffern genau bestimmt. Und man vermutet, dass eine andere Zahl etwas mit der ersten zu tun hat.

Das ist doch eigentlich ein Problem mit einer Black-Box: Auf der einen Seite gibt man etwas hinein, nämlich viele Ziffern von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und auf der anderen Seite kommen viele Ziffern heraus. Man könnte auch sagen, man hat sowas wie eine Kanal-Kodierung: Aus dem Code (Ziffern am Ausgang des Kanals) will man die Botschaft (Ziffern am Eingang des Kanals) bestimmen.

$\begin{eqnarray*} 3.141592653589792...\Rightarrow \left[\text{Black Box}\right] \Rightarrow 1.202056903159594... \end{eqnarray*}$

Dafür gibt es doch auch solche rekursiven Methoden, mit denen man unbekannte Zusammenhänge schätzen kann. Ich meine, sowas wie Bayes-Schätzungen oder Hidden-Markov-Modelle oder EM oder sowas. Ich kenne mich damit nicht aus, aber weiß da jemand mehr? Wurde das schonmal probiert? verwirrt

Oder ist das von vorneherein quatsch? Forum Kloppe

04.01.2012, 17:34

Abakus

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RE: Ziffernfolgen und Zusammenhänge
Hallo Wink

Zitat:

Original von Muff Potter
Da $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bis auf unglaubliche viele Ziffern bekannt ist (ein paar Milliarden Ziffern oder so, wo ist man da jetzt?) und man die linke Seite der Gleichung bestimmt auch bis auf ein paar Milliarden Ziffern oder so ausrechnen kann, müßte man jetzt durchprobieren, für welche Ziffern p,q,r,s es am besten passt. Durchprobieren ist zwar nicht besonders mathematisch, aber besser als nix. verwirrt

Es reicht sicher mehr als aus, erstmal mit 100 Ziffern hinter dem Komma zu rechnen. Hat man eine gute Näherung, kann ja weiter geschaut werden.

Stichwort ist: Experimentelle Mathematik

Zitat:

Dafür gibt es doch auch solche rekursiven Methoden, mit denen man unbekannte Zusammenhänge schätzen kann. Ich meine, sowas wie Bayes-Schätzungen oder Hidden-Markov-Modelle oder EM oder sowas. Ich kenne mich damit nicht aus, aber weiß da jemand mehr? Wurde das schonmal probiert? verwirrt

Oder ist das von vorneherein quatsch? Forum Kloppe

Diese Methoden sagen mir jetzt wenig, aber sicher richtig, zum Herumprobieren gibt es eine Reihe von Methoden: Lineare Optimierung, Genetische Algorithmen, Optimierung mit Nebenbedingungen, Suchverfahren aller Art und Coleur..

Wer ein bisschen programmieren kann, kann auch solche Verfahren zusammenschreiben. Nur ist der Suchraum wohl auch recht groß, schließlich gibt es viele Vermutungen über den möglichen Zusammenhang.

Abakus smile

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