Problem bei Rechenweg

02.01.2012, 18:55

Auli

Problem bei Rechenweg

Hallo habe folgende Aufgabe:
[attach]22535[/attach]
Da ich leider noch nicht so tierisch viel Ahnung ovn Stochastik habe, habe ich mir die Lösung angeschaut. Und war verwirrt:

A sei das Ereignis, dass die erste Kugel rot ist, B dass beide Kugeln rot sind.
$\begin{eqnarray*} P(A|W_{i}) = \frac{r-i}{r+s} \end{eqnarray*}$ wenn i gerade
$\begin{eqnarray*} P(A|W_{i}) = \frac{r+i}{r+s} \end{eqnarray*}$ wenn i ungerade
Über die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit kommt dann für die Wahrscheinlichkeit von A raus:
$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{2r-1}{2(r+s)} \end{eqnarray*}$
Okay soweit bin ich noch mitgekommen, auch wenn ich von selbst niemals auf die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit gekommen wäre ( ist aber vermutlich eine Übungssache Augenzwinkern

).

Für die Berechnung von P(B) wird dann folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} P(B|W_{i}) = (P(A|W_{i}))^{2} \end{eqnarray*}$ und wieder die oben genannte Formel angewandt.

Mein Problem konkret ist:
Warum darf ich nicht P(A) quadrieren, irgendwie dachte ich, wenn ich P(A) raus habe habe ich die Vorbedingung ja schon beachtet und kann dann einfach munter die Pfadregel verwenden. Jedoch kommt nach oben genanntem Weg eine andere Lösung raus.

Also könnt ihr mich vielleicht bitte draufstoßen, wo mein Denkfehler liegt?

Gruß
Auli

02.01.2012, 19:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Auli
Warum darf ich nicht P(A) quadrieren, irgendwie dachte ich, wenn ich P(A) raus habe habe

Das geht nur, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig wären - sind sie aber nicht:

Sie sind nur bedingt (!) unabhängig, und zwar unter der Bedingung der gleichen zugrunde liegenden Augenzahl $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , was in deiner Musterlösung durch die Ereignisbedingung $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ symbolisiert wird.

P.S.: Mit $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ meine ich "2.Kugel rot" und dann $\begin{eqnarray*} B=A\cap A_2 \end{eqnarray*}$

02.01.2012, 19:25

Auli

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Ah okay cool danke schon Mal. Das hilft mir schon Mal weiter.
Ich habe noch eine Frage: In dem zweiten Teil geht es darum wie wahrscheinlich es ist beim 2. Ziehen eine schwarze Kugel zu ziehen, das Ereignis ist C.
$\begin{eqnarray*} P(C^{c}) = P(A) \end{eqnarray*}$ Hier wird ja wieder benutzt, dass die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von C A ist und das beim zweiten ziehen. Also habe ich für jedes Mal ziehen isoliert für sich P(A) als Chance eine rote zu ziehen, wenn es jedoch um zwei Mal ziehen geht ändert sich das, da A und A2 nicht stochastisch unabhängig sind bzw nur bedingt stochastisch unabhängig.

Stimmt das so?

02.01.2012, 19:31

HAL 9000

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Richtig. Mit dem von mir eingeführten Ereignis würde man aber genauer $\begin{eqnarray*} C=A_2^c \end{eqnarray*}$ sagen, da Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sich bei dir ja explizit auf die erste Kugel bezieht.

03.01.2012, 21:45

Auli

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Ja danke für die Korrektur, war da nicht ganz präzise.
Hab aber nun ein neues Problem, da es aus einem Stochastischem Problem heraus kommt poste ich es mal hier,ich möchte dafür nicht wieder einen neuen Thread aufmachen:

Es soll gezeigt werden, dass wenn $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{n} \sim G(p) \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} X_{1} + ... + X_{n} \sim Nb(n,p) \end{eqnarray*}$

Also ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} P( X_{1} + ... + X_{n}=k) = \begin{pmatrix} k+n-1 \\ k \end{pmatrix}*p^{n} * (1-p)^{k} \end{eqnarray*}$
So also das macht man über Induktion und Faltungsformel, denkt euch jetzt einfach den Induktionsanfang,für n =1 ist das ja ziemlich einfach Augenzwinkern

Problematisch wirds nach dem Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} P( X_{1} + ... + X_{n} + X_{n+1}=k) = \sum\limits_{m=0}^k P( X_{1} + ... + X_{n}=m)*P(X_{n+1}=k-m)= \sum\limits_{m=0}^k \begin{pmatrix} m+n-1 \\ m \end{pmatrix}*p^{n} * (1-p)^{m} * p * (1-p)^{k-m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =p^{n+1}*(1-p)^{k}* \sum\limits_{m=0}^k \begin{pmatrix} m+n-1 \\ m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein eigentliches Problem ist nun der Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^k \begin{pmatrix} m+n-1 \\ m \end{pmatrix} =^{!} \begin{pmatrix} n+k \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich hab ihn mal mit Wolframalpha ausgerechnet und scheinbar scheint es zu stimmen, aber gibt es hier eine (Rechen-)Weg, wenn man mal nicht WA zur Verfügung hat?

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