Zeigen, dass eine Menge nicht kompakt ist

02.01.2012, 20:13	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass eine Menge nicht kompakt ist Meine Frage: Hi Leute, ich habe eine Aufgabe in der ich zeigen soll, dass die Menge $\begin{eqnarray} B(0,1):=\left\{ x\in Q : \|x \| <1 \right\} \end{eqnarray}$ nicht kompakt ist. Meine Ideen: Da eine Menge nur kompakt ist wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist muss ich also das Gegenteil beweisen. Leider waren bei den Beispielen die ich mir angeguckt habe die Mengen als Kreisscheiben darstellbar, also Zylinderförmig,etc.. nur weiß ich nicht wie ich diese Menge irgendwie darstellen soll oder ob dies überhaupt möglich ist. Meine Idee, zu zeigen, dass die Menge nun also offen oder nicht beschränkt ist war so: Offen, weil Randpunkte nicht in der Menge enthalten. Nicht beschränkt, weil die Darstellung nicht in eine Kugel passen würde.... So war es jedenfalls immer bei den Beispielen gewesen aber da waren das auch ganz andere Mengen und somit weiß ich auch hier leider keinen Ansatz. Vielen Dank schonmal
02.01.2012, 20:26	epsilon90	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass eine Menge nicht kompakt ist Hallo, du hast schon völlig richtig erkannt, dass die Randpunkte nicht mit in der Menge liegen. Daher ist die Menge nicht abgeschlossen. Aufschreiben tust du das am besten, indem du eine Folge nimmst, die in der Menge liegt, aber deren Grenzwert nicht mehr in der Menge liegt. Viele Grüße
02.01.2012, 20:35	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein kleiner Einwurf: Ich hoffe es ist dir bewußt dass nur wegen $\begin{eqnarray} B(0,1) \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Heine-Borel angewendet werden kann.
03.01.2012, 20:55	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank Leute werde das mal über eine solche Folge versuchen.
04.01.2012, 11:43	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kriege es leider nicht hin eine Folge zu finden welche in der Menge liegt. Bei einer anderen Aufgabe war dies ganz leicht aber hier... Kann mir vlt. jemand ein wenig Starthilfe geben?
04.01.2012, 14:25	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm Dir eine bekannte Folge (mit Werten aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ aber das haben die meisten), die nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ konvergiert. Skaliere die Folgenglieder so, dass sie in deiner Menge sind.
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05.01.2012, 12:44	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Danke. Und wenn ich das richtig verstehe muss die Folge im Intervall von 0 bis 1 liegen oder? EDIT: Ich seh grade, ich habe Q geschrieben x ist aber ein Element der komplexen Zahlen. Das ist nämlich auch das Problem bei der Folge die ich habe.
05.01.2012, 13:15	Karamuto	Auf diesen Beitrag antworten »
eigentlich reicht es schon wenn deine folge betragsmäßig gegen 1 konvergiert der grenzwert liegt dann ja folglich nicht mehr in deiner menge ps: deine folgenglieder müssen also nicht unbedingt komplex sein mit reelen zahlen funktioniert das genauso gut.

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