Funktionaldeterminante einer Verkettung

02.01.2012, 20:38

Margarita90

Funktionaldeterminante einer Verkettung

Hallo,
ich soll von einer Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die Funktionaldeterminante bestimmen.
Wenn gilt $\begin{eqnarray*} \Phi=\Psi_2 \circ \Psi_1 \end{eqnarray*}$ und ich die Funktionaldeterminanten von $\begin{eqnarray*} \Psi_2, \Psi_1 \end{eqnarray*}$ kenne, bringt mir das dann etwas für die eigentliche Aufgabenstellung?
zB $\begin{eqnarray*} det(D \Phi)=det(D \Psi_2) \cdot det(D \Psi_1) \end{eqnarray*}$ , oder so...

Lieber Gruß!

02.01.2012, 23:42

Hansen38

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RE: Funktionaldeterminante einer Verkettung
Ja, es bring dir was. Und an folgendes musst du dich erinnern:

1.) Kettenregel für Ableitungen (von höherdimensionalen Räumen in höherdimensionale Räume)

2.) det(A*B) = det(A)*det(B) ............ aus der linearen Algebra, oder sonst woher :P

02.01.2012, 23:45

Leopold

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Auch im Mehrdimensionalen gilt die Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \Phi' = \left( \Psi_2' \circ \Psi_1 \right) \cdot \Psi_1' \end{eqnarray*}$

Der Strich bezeichne die Ableitung in der Form einer Funktionalmatrix. Und wenn diese Matrizen nun quadratisch sind ...

03.01.2012, 19:30

Margarita90

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \Phi' = \left( \Psi_2' \circ \Psi_1 \right) \cdot \Psi_1' \end{eqnarray*}$

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \Psi_2' \circ \Psi_1 \end{eqnarray*}$ ? Gilt $\begin{eqnarray*} \Psi_2' \circ \Psi_1 = \Psi_2' \cdot \Psi_1 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Und wenn diese Matrizen nun quadratisch sind ...

Wenn obige Beziehung gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} \Psi_2' \circ \Psi_1 \end{eqnarray*}$ doch ein Vektor? (demzufolge nicht quadratisch)

Danke und liebe Grüße!

03.01.2012, 20:06

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ist die Verkettung und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ist die Matrizenmultiplikation. Und die von mir genannte Formel ist nichts anderes als die Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \Phi' = \underbrace{\left( \Psi_2' \circ \Psi_1 \right)}_{\mbox{Ableitung der äußeren Funktion}} \cdot \underbrace{\Psi_1'}_{\mbox{Ableitung der inneren Funktion}} \end{eqnarray*}$

Das Ganze mit den Determinanten macht nur Sinn, wenn die Matrizen quadratisch sind, wenn also $\begin{eqnarray*} \Psi_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Psi_2 \end{eqnarray*}$ von offenen Teilmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ abbilden, so daß die Verkettung möglich ist.

03.01.2012, 20:18

Margarita90

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Okay, danke!

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