Quadratwurzel-Begriff

03.01.2012, 09:03

Wurzelzweifler

Quadratwurzel-Begriff

Meine Frage:
Hallo Mathe-Experten,
in einer Kollegenkreis-Diskussion um die Quadratwurzel sind zwei Auffassungen geäußert worden:
Tiefwurzler: "Die Quadratwurzel aus 1 hat zwei Werte, nämlich +1 und -1."
Flachwurzler: "Die Qudratwurzel aus 1 hat nur den Wert +1."

Wer hat hier nach dem besseren Mathematikbuch gelernt?

Ich möchte Euch keine tiefschürfenden Erläuterungen zu dem Thema zumuten.

Ich möchte einfach nur Eure Meinung wissen, und es würde mich beruhigen, wenn die antworteten, die sich auch vor einem Term wie $\begin{eqnarray*} i^i \end{eqnarray*}$ nicht gruseln. Aber ich möchte damit das Thema keineswegs ausweiten

Herzliche Grüße
Wurzelzweifler

p.s.
Das gehört sicher nicht in den Bereich der Hochschulmathematik, aber es ist besser, Ratgeber mit diesem Horizont zu fragen.

Meine Ideen:
Den Wurzelbegriff habe ich in einigen Quellen nachgelesen und gehöre zur Flachwurzler-Partei. Ich denke, damit die unwidersprochene allgemeine Konvention zu bachten.

03.01.2012, 09:48

klarsoweit

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RE: Quadratwurzel-Begriff
Ich gehöre zu den Flachwurzlern bzw. halte es mit der Definition, wie sie hier http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel gemacht wurde.

Das scheint mir auch allgemeiner Konsens zu sein.

03.01.2012, 10:07

sulo

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RE: Quadratwurzel-Begriff

Zitat:

Original von Wurzelzweifler
Das gehört sicher nicht in den Bereich der Hochschulmathematik, aber es ist besser, Ratgeber mit diesem Horizont zu fragen.

Diese Ratgeber helfen auch in der Schulmathematik. Und das Thema ist tatsählich kein Hochschulniveau.

Daher: verschoben.

03.01.2012, 10:20

Leopold

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RE: Quadratwurzel-Begriff

Zitat:

Original von sulo
Und das Thema ist tatsählich kein Hochschulniveau.

Ich finde schon, daß das in den Bereich der Hochschulmathematik gehört. In der Schule betreibt man, von ein paar Inseln abgesehen, nur reelle Mathematik. Dort stellt sich das Problem also gar nicht.

Ich gehöre zu den Flachwurzlern mit Tiefe: Es kommt auf den Kontext an.

1. Treibt man reelle Analysis, so ist die Wurzel eindeutig als nichtnegativ definiert. Und ich kann klarsoweit nur zustimmen: Das ist allgemeiner Konsens.

2. Begibt man sich jedoch in die Gefilde der komplexen Analysis, ist das nicht mehr so eindeutig. Siehe zum Beispiel hier.

03.01.2012, 11:30

Wurzelzweifler

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@Klarsoweit und @Leopold,
danke für Eure Auntworten! Ich wollte eigentlich die Frage auf reelle, nicht negative Radikanden beschränken, denn die komplexe Potenzfunktion würde ein ganz neues hier nicht zur Diskussion stehendes Fass aufmachen. Aber jetzt vielleicht doch ein ganz kleiner Ausblick auf reelle negative Radikanden:

Nicht nur als Flachwurzler würde ich sagen
$\begin{eqnarray*} \sqrt{ -1}=i \end{eqnarray*}$
und keinesfalls
$\begin{eqnarray*} \sqrt{ -1}=-i \end{eqnarray*}$ .

Stimmt Ihr mir da auch zu?

Ich würde mich freuen, wenn noch weitere Antworten kämen. Aber der tiefere Ausflug in die komplexwertige Algebra ist, wie gesagt, wirklich nicht nötig.

Herzliche Grüße
Wurzelzweifler

03.01.2012, 11:48

Leopold

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Du bist "lustig": Du gehst ins Komplexe und erzeugst damit ein tiefer liegendes Problem. Zugleich willst du einem "verbieten", dieses Problem in der Tiefe zu durchdringen.

Um es kurz zu machen: In der Striktheit deiner Festlegung stimme ich nicht zu (siehe dazu meinen vorigen Link).

03.01.2012, 12:47

Wurzelzweifler

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@Leopold,
nein, nein, verbieten will ich wirklich niemandem etwas hier - außer mir selbst. Tut mir leid, dass ich das neue Fass selbst aufgemacht habe, aber nur ein bisschen.

Ich hätte bei meiner Anfrage nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=(-1)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ besser erwähnt, dass ich den Verzweigungsschnitt längs der negativen reellen Achse so voraussetze, dass $\begin{eqnarray*} -1=\mathrm e^{i\pi} \end{eqnarray*}$ gilt. Ist denn jetzt die Quadratwurzel eindeutig als
$\begin{eqnarray*} \sqrt{z}=\sqrt{r\mathrm e^{i\varphi}}:=\sqrt{r}\mathrm e^{i\frac{\varphi}{2}} \end{eqnarray*}$
definiert, so dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$
strikt richtig ist?

Herzliche Grüße
Wurzelzweifler

03.01.2012, 14:48

Nubler

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$\begin{eqnarray*} e^{i\phi}=e^{i(\phi+2\pi n)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

03.01.2012, 15:55

Wurzelzweifler

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@Nubler
Ich verstehe Deinen Beitrag - angewendet auf meine Frage - so, dass $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ in der polaren Form solange eine unendliche Menge bleibt, wie ich mich nicht für ein festes Argument entscheide. Wenn ich mich dann aber dafür zu $\begin{eqnarray*} +\pi \end{eqnarray*}$ durchringe, gelange ich zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{ -1} =+i \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich außerdem dieselbe Konvention befolgt, die für $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ zu dem festen Wert +1 führt. Und wenn man diese weit verbreitete Konvention benutzt muss man sie nicht erwähnen. Jede andere bedürfte aber der Erwähnung.

Liege ich mit diesem Verständnis richtig?

Herzliche Grüße
Wurzelzweifler

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