Algebra, Unteralgebra

03.01.2012, 11:07

sha1

Algebra, Unteralgebra

Meine Frage:
Hi,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} (A,o) \end{eqnarray*}$ eine assoziative $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Algebra mit Einselement 1 der Dimesion $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist isomorph zu einer Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} M_{n}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ .

Als Hinweis ist gegeben:
Fixieren Sie eine Basis $\begin{eqnarray*} b_{1},...,b_{n} \end{eqnarray*}$ und ordnen Sie jedem $\begin{eqnarray*} a /in A \end{eqnarray*}$ die Matrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} x \mapsto ax \end{eqnarray*}$ zu.

Meine Ideen:
So mein Problem ist jetzt in der Vorstellung dessen, dass das überhaupt isomorph sein kann. Schließlich hat $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ja die Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{n}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ hat die Dimension $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht hängt mein Problem auch damit zusammen, dass in unserem Skript nirgends eine Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} M_{n}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ definiert wird und Wikipedia da auch nicht wirklich weiterhilft.

Wäre echt dankbar wenn mir da jemand helfen könnte.

03.01.2012, 11:29

ollie3

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RE: Algebra, Unteralgebra
hallo sha1,
habe über diese aufgabe nachgedacht. Eine unteralgebra von M_n heisst ja,
dass man nur noch einen unterraum der nxn-matrizen vorliegen hat, der
bezüglich der gruppenoperation abgeschlossen ist, und dieser raum kann durchaus nur noch die dimension n und nicht mehr n^2 haben. Jetzt müsste
man sich nur noch überlegen, wie dieser unterraum aussehen soll.
gruss ollie3

03.01.2012, 12:19

jester.

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Ganz generell ist eine Unteralgebra einer $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -linearer Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , der unter der in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ definierten Multiplikation abgeschlossen ist. Ein Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Algebra. Dort ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Unteralgebra.

Was die eigentliche Aufgabe angeht, so ist der Tipp doch Gold wert. Die Aufgabe besteht im Prinzip darin, die sogenannte reguläre Darstellung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auszurechnen. Nennen wir sie mal $\begin{eqnarray*} \rho_A \end{eqnarray*}$ . Dies ist dann eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in die $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -linearen (von mir aus $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) Endomorphismen $\begin{eqnarray*} {\rm End}_K(A) \end{eqnarray*}$ , die jedem $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ den Endomorphismus $\begin{eqnarray*} A\to A, ~ x \mapsto ax \end{eqnarray*}$ zuordnet.
Also $\begin{eqnarray*} \rho_A ~:~ A \to {\rm End}_K(A), ~ a \mapsto ( x \mapsto ax) \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist dann bloß noch, dass dies eine Einbettung (also injektiv) von Algebren ist. Dies rechnet man leicht nach.

Durch Basiswahl in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ identifiziert man dann $\begin{eqnarray*} {\rm End}_K(A) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M_n(K) \end{eqnarray*}$ .

Greifen wir das Beispiel von oben noch einmal auf, also $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Algebra mit der Basis $\begin{eqnarray*} (1,i) \end{eqnarray*}$ .
Wir möchten nun wissen, was die reguläre Darstellung dieser Algebra ist und rechnen sie für ein $\begin{eqnarray*} x+iy\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ aus.
Der erste Basisvektor, $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , ergibt multipliziert mit $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ natürlich wieder $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ . Also ist die erste Spalte der entstehenden Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Multiplizieren wir mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , so erhalten wir $\begin{eqnarray*} ix-y \end{eqnarray*}$ , also als zweite Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Insgesamt also $\begin{eqnarray*} \rho_{\mathbb{C}}(x+iy)=\begin{pmatrix}x&-y \\ y&x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Damit können wir $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als zweidimensionale Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} M_2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ auffassen.

03.01.2012, 13:23

sha1

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hmm... schonmal danke für die Antworten!

ich muss ehrlich sein, das mit den $\begin{eqnarray*} {\rm End}_K(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho_A ~:~ A \to {\rm End}_K(A), ~ a \mapsto ( x \mapsto ax) \end{eqnarray*}$ hat mich jetzt etwas verwirrt, das hab ich noch nicht wirklich verstanden...

ich habe mir gerade noch die Frage gestellt, ob es nicht möglich wäre zu sagen
mit $\begin{eqnarray*} (b_1,...,b_n) \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$
und sei $\begin{eqnarray*} (C, o) \end{eqnarray*}$ eine Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} M_n(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ mit Basis $\begin{eqnarray*} (c_1,...,c_n) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = \sum\limits_{i}\alpha_ib_i \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} c \in C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c = \sum\limits_{j} \alpha_jc_j \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lineare Abbilung mit $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow C, a \mapsto c \Leftrightarrow \sum\limits_{i}\alpha_ib_i \mapsto \sum\limits_{j} \alpha_jc_j \end{eqnarray*}$

dann könnte ich doch sagen dass dies praktisch ein Basiswechsel ist und somit isomorph oder?

03.01.2012, 13:37

jester.

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Zitat:

Original von sha1
hmm... schonmal danke für die Antworten!

ich muss ehrlich sein, das mit den $\begin{eqnarray*} {\rm End}_K(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho_A ~:~ A \to {\rm End}_K(A), ~ a \mapsto ( x \mapsto ax) \end{eqnarray*}$ hat mich jetzt etwas verwirrt, das hab ich noch nicht wirklich verstanden...

Aber die Begriffe musst du doch kennen. Das ist einfach nur lineare Algebra. Und die Abbildung $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ist die Abbildung aus dem Hinweis. Wir bilden einfach ein Element der Algebra auf den $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -linearen Endomorphismus "Multiplikation mit diesem Element" ab.

Zitat:

ich habe mir gerade noch die Frage gestellt, ob es nicht möglich wäre zu sagen
mit $\begin{eqnarray*} (b_1,...,b_n) \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$
und sei $\begin{eqnarray*} (C, o) \end{eqnarray*}$ eine Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} M_n(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ mit Basis $\begin{eqnarray*} (c_1,...,c_n) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = \sum\limits_{i}\alpha_ib_i \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} c \in C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c = \sum\limits_{j} \alpha_jc_j \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lineare Abbilung mit $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow C, a \mapsto c \Leftrightarrow \sum\limits_{i}\alpha_ib_i \mapsto \sum\limits_{j} \alpha_jc_j \end{eqnarray*}$

dann könnte ich doch sagen dass dies praktisch ein Basiswechsel ist und somit isomorph oder?

Das wird so in aller Regel nicht klappen. Zum Beispiel wieder in $\begin{eqnarray*} M_2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . Die von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1 \\ 1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erzeugte Unteralgebra ist zweidimensional. Du kannst also nicht einfach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (linear unabhängige) Elemente der Algebra auswählen und erwarten, dass sie eine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionale Unteralgebra erzeugen.
Die Wahl deiner Abbildung wird ebenfalls nicht funktionieren. Gefragt ist ja nach einem Isomorphismus von Algebren. Mit Hilfe einer Vektorraumbasis kann man aber nur einen Vektorraumisomorphismus definieren, der in aller Regel nicht mit der Multiplikation verträglich sein wird.

Also folge dem Hinweis und zeige, dass die reguläre Darstellung alles erfüllt, was du benötigst.

03.01.2012, 18:53

sha1

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ok, ich weiß jetzt warum ich das ganze nicht verstanden habe:

wir hatte noch keine zuordnung innerhalb einer Zuordnung, also so etwas: $\begin{eqnarray*} \rho_A ~:~ A \to {\rm End}_K(A), ~ a \mapsto ( x \mapsto ax) \end{eqnarray*}$

jetzt ist mir aber einigermaßen klar, was hier passiert. Könntest du vielleicht nochmal kurz darauf eingehen, warum die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Algebra jetzt isomorph ist zur Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} M_{n}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ .

03.01.2012, 23:03

jester.

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Zitat:

Original von sha1
Könntest du vielleicht nochmal kurz darauf eingehen, warum die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Algebra jetzt isomorph ist zur Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} M_{n}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ .

Ist dir denn klar, warum $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu einer Unteralgebra der Endomorphismenalgebra isomorph ist? Dann ist nämlich der Schritt von dort zu den Matrizen nur noch Basiswahl.

Der Schritt davor wird gerade durch die Abbildung $\begin{eqnarray*} \rho_A \end{eqnarray*}$ geleistet. Wenn du nachrechnest, dass dies ein injektiver Homomorphismus von Algebren ist, bist du fertig, denn dann ist nach dem Homomorphiesatz $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ isomorph zu seinem Bild unter $\begin{eqnarray*} \rho_A \end{eqnarray*}$ .

04.01.2012, 15:32

sha1

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Hi,

ich glaube ich habe die Aufgabe jetzt fast verstanden und mir fehlt soweit ich das sehe noch ein Schritt.

also ich habe angefangen mit:

Sei
$\begin{eqnarray*} \rho_A ~:~ A \to (A \to A), ~ a \mapsto ( x \mapsto ax) \Leftrightarrow \rho_A ~:~ \mathbb R ^n \to End(\mathbb R ^n), ~ a \mapsto ( x \mapsto ax) \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} End(\mathbb R ^n) \cong M_{n}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Daher ist nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \cong End(A) \end{eqnarray*}$

wie kann man das jetzt einfach zeigen?

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