Differenzierbarkeit

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03.01.2012, 11:33	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit Hallo, ich habe folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} f(x):=xln(x^2) \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x \neq 0; f(0):=0 \end{eqnarray}$ Um Diff´barkeit nachzuweisen bildet man ja den Differentialquotionten und schaut dann nach ob der Grenzwert existiert, richtig? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{xln(x^2)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{xln(x^2)}{x}=\lim_{x \to 0}ln(x^2) \end{eqnarray}$ Der Grenzwert des natürlichen Logarithmus für $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ . Das weiß ich weil ich den Logarithmus als Funktion kenne. Was mich interessiert ist, ob es eine Möglichkeit gibt dies zu berechnen. Oder sollte man das einfach wissen? Damit wäre die Funktion doch bei x=0 nicht differenzierbar, oder? Zweite Funktion: $\begin{eqnarray} f(x):=\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x \neq 0; f(0):=1 \end{eqnarray}$ Differentialquotient: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{sin(x)-f(0)}{x-0}=lim_{x \to 0}\frac{sin(x)-1}{x} \end{eqnarray*}$ Soo. An dem Grenzwert scheitert es dann... Könnt ihr mir einen Hinweis geben wie ich da weiter komme? MfG
03.01.2012, 12:28	sebastiano1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Probier mal die Alternative Schreibweise: f'(x)=lim h->0 [f(x+h)-f(x)]/h Damit lässt sich oft einfacher rechnen! Du kommst somit auf 0/0!
03.01.2012, 16:08	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich oben eh vertan, eigentlich wäre der Differentialquotient ja: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{\frac{sin(x)}{x}-1}{x} \end{eqnarray}$ Das würde ich jetzt einfach mal auseinanderziehen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x^2}-\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Dann wende ich l´Hospital an: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{cos(x)}{2x}-\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Hier erkennt man dann das beide Limiten (heißt doch so, oder?^^) gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ gehen. Also habe ich dann: $\begin{eqnarray} \infty-\infty=0 \end{eqnarray}$ Kann ich das so machen? Oder darf ich unendlich nicht einfach so abziehen? Noch eine wichtigere Frage: Wenn ich den Differentialquotienten gebildet habe, dann ist die Funktion ja diff´bar wenn der Grenzwert existiert, oder? Wenn er aber gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ läuft, wie schaut es dann aus? MfG
03.01.2012, 16:33	sebastiano1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, kannst du machen, das ist erlaubt! Aber beachte, dass Du das erst noch umwandeln musst, damit du Hospital anwenden kannst! Hast du direkt 0/0 kannst den direkt einsetzten! Viele Wege führen nach rom Ist alles korrekt, was du gesagt hast! Gruß
03.01.2012, 16:52	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ok. Das beruhigt schon mal ein bischen. Wie aber sieht das dann bei der hier aus?: $\begin{eqnarray} f(x):=\frac{e^{x^2}-1}{x} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x\neq 0; f(0):=1 \end{eqnarray}$ Da komme ich dann auf: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^{x^2}-1}{x}-1}{x} \end{eqnarray}$ Das forme ich wieder um: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2}-\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Und wieder l´Hospital: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{2xe^{x^2}}{2x}-\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}e^{x^2}-\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Dann lande ich bei: $\begin{eqnarray} 1-\infty=-\infty \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Dann wäre die Funktion bei x=0 nicht differenzierbar oder? Sogesehen ist das ja kein Grenzwert, oder? MfG
03.01.2012, 17:05	sebastiano1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Dunsts dir mal anschauen, wann du del'hospital anwenden darfst! Das ist meines wissen nur in zwei Fällen möglich! 0/0 oder unendlich/unendlich! Am besten du sucht's dir passende literatur oder das Skript seines profs und schaust da nochmal genau nach
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03.01.2012, 17:09	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, aber das passt doch. In diesem Fall gehen doch Zähler und Nenner beide gegen 0. Im Nenner steht x^2, das geht für x=>0 gegen 0. (wen wunderts). Und im Nenner steht e^(x^2)-1. e^(x^2) geht gegen 1, also geht e^(x^2)-1 gegen 0. Oder ist da irgendwo ein Denkfehler?
03.01.2012, 17:29	sebastiano1984	Auf diesen Beitrag antworten »
und das 1/x ? Ich bin mir nicht sicher, ob du bei dem einen Faktor Hospital anwenden kannst und bei dem anderen nicht und dann Subtrahieren! Ist schon ein bisschen her!
03.01.2012, 17:40	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
das hab ich in der aufgabe oben aber auch gemacht, und da sagtest du doch auch das es richtig ist? Kann das mal bitte jemand aufklären? Die Regel besagt doch das ich den Limes einer verknüpfung von Funktionen einzeln berechnen kann um sie dann hinterher zu verrechnen. Dann wüsste ich nicht weshalb ich l´Hospital nicht anwenden dürfte... Übrigens lese ich gerade bei Wikipedia das man unendlich eben NICHT von unendlich subtrahieren darf. Also fällt meine Lösung bei 1 auch flach. Help please...
03.01.2012, 17:51	sebastiano1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Eins nach dem anderen. Ich habe gesagt das geht, aber der Term muss umgeformt werden! Dazu habe ich gesagt, schau dir bitte Bücher oder Skript an, da sollte sowas drinstehen. Ich habe dir einen Ausschnitt ausm Papula Band 1 Hochgeladen, was meine Aussage verifiziert! [attach]22544[/attach] Ich mache mich jetzt mal an die Lösung der Aufgabe und dann geb ich dir wieder bescheid!
03.01.2012, 17:58	sebastiano1984	Auf diesen Beitrag antworten »
mal ne andere Frage, ist eure Aufgabe den Differenzenquotient anzuwenden oder zu berechnen, ob ein Grenzwert existiert?
03.01.2012, 18:09	sebastiano1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine Funktion als Bruch hast und dieser weißt die Struktur 0/0 auf oder eben $\begin{eqnarray} \infty /\infty \end{eqnarray}$ , kann man einfach die Regel von del ospital anwenden, direkt auf die Funktion, so haben wir das immer gemacht! Aber in deinem Beispiel ganz oben: x*lnx^2 geht das nicht. Daher ist es sinnvoll den Differenzenquotient anzuwenden! Alles andere wäre doppelt gemoppelt! Wenn ich falsch liege korrigier mich einer, würde es auch gerne genau wissen!

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