Gruppen D4 und A4

03.01.2012, 12:53	icke	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen D4 und A4 Meine Frage: Hallo ich habe folgende zwei Fragen und kann mir darunter nicht viel vorstellen. 1. Ist D4 eine Untergruppe der alternierenden Gruppe A4? 2. Zeigen sie das die Drehungen (D0,D1,D2,D3) eine Untergruppe von D4 bilden, die Spiegelungen (S0,S1,S2,S3) aber nicht. Meine Ideen: zu 1. da die Gruppe D4 sowohl Drehungen, als auch Spiegelungen enthält würde ich sagen sie ist keine Untergruppe von A4. Ist das so richtig argumentiert? zu2. habe ich noch keine idee.
03.01.2012, 12:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ hast du die Bedeutung erklärt, bei $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ jedoch nicht. Aus dem Kontext vermute ich, daß damit die Diedergruppe der Ordnung 8, also die Symmetriegruppe des Quadrats gemeint ist. Stimmt das? Und warum bezeichnest du dann die Drehungen, also Elemente der Gruppe, mit demselben Symbol? Das ist alles sehr verwirrend. Bitte konsistente Bezeichnungen verwenden.
03.01.2012, 13:03	icke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja damit ist die Symmetriegruppe des Quadrats gemeint. Die Bezeichnungen stehen genauso auf meinem Aufgabenblatt und ich hab keine idee dazu
03.01.2012, 13:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Argumentation zu 1. ist nicht nachvollziehbar. Die Gruppe $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ ist auf jeden Fall eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ . Genauer formuliert: In $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ findet man eine zu $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ isomorphe Untergruppe. Das kann man sich folgendermaßen klarmachen: Man numeriert die Ecken des Quadrats der Reihe nach mit $\begin{eqnarray} 1,2,3,4 \end{eqnarray}$ , zum Beispiel gegen den Uhrzeigersinn. Jetzt betrachte etwa die Drehung $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ um 180° (Punktspiegelung an der Quadratmitte). Es gilt $\begin{eqnarray} \delta_2(1) = 3, \ \delta_2(2)= 4, \ \delta_2(3) = 1, \ \delta_2(4) = 2 \end{eqnarray}$ Man kann daher $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ als Permutation der Ecken auffassen: $\begin{eqnarray} \delta_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In der ersten Zeile stehen die Urbilder, in der zweiten die zugehörigen Bilder. In diesem Sinn ist $\begin{eqnarray} \delta_2 \in S_4 \end{eqnarray}$ . Und so kann man das mit jedem Element von $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ machen, ob Drehung oder Spiegelung, spielt keine Rolle. Damit wird $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ zu einer Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ . Und die Frage bei 1. ist, ob jedes Element von $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ bereits zu $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ gehört, also eine gerade Permutation ist. Wie sieht es denn oben mit $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ aus? Dazu muß man die Fehlstände zählen. Zum Beispiel liefert das Urbildpaar $\begin{eqnarray} (1,2) \end{eqnarray}$ keinen Fehlstand, weil beim zugehörigen Bildpaar $\begin{eqnarray} (3,4) \end{eqnarray}$ die Zahlen in richtiger Reihenfolge stehen. Dagegen liefert das Urbildpaar $\begin{eqnarray} (1,3) \end{eqnarray}$ einen Fehlstand, weil beim Bildpaar $\begin{eqnarray} (3,1) \end{eqnarray}$ die Zahlen in falscher Reihenfolge stehen. Wie viele Fehlstände enthält also $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ ? Dazu mußt du sechs Tests durchführen (für jedes Urbildpaar einen). Wenn die Anzahl der Fehlstände gerade ist, gehört $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ , ansonsten nicht. Alternativ kannst du auch versuchen, $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ als Produkt (=Verkettung) von Transpositionen zu schreiben. Wenn die Anzahl der Faktoren gerade ist, gehört $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ . Aber selbst wenn $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ gehören sollte, wäre damit noch nicht bewiesen, daß $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ ist. Denn dazu müßte ja jedes Element von $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ gehören. Mit diesen Erläuterungen solltest du die Aufgabe lösen können.
03.01.2012, 13:55	icke	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die hinweise. aber was soll ich denn bei 2. machen? es klingt zwar sicherlich sehr dumm aber mir ist nict ganz klar was $\begin{eqnarray} D_{0} ,D_{1},D_{2},D_{3} bzw. S_{0},S_{1},S_{2},S_{3} \end{eqnarray}$ sind.
03.01.2012, 14:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte dir bereits bedeutet, daß es nicht erlaubt ist, für die Gruppe und ihre Elemente denselben Bezeichner zu verwenden. Trotzdem tust du das weiter, obwohl ich dir vorgeführt habe, wie man so etwas richtig macht ( $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} D_2 \end{eqnarray}$ ). Ich verstehe so etwas nicht. Was $\begin{eqnarray} \delta_0, \delta_1, \delta_2, \delta_3 \end{eqnarray}$ bedeuten sollen, kannst letztlich nur du wissen. Denn ich war nicht in deiner Vorlesung. Ich vermute, daß $\begin{eqnarray} \delta_k \end{eqnarray}$ die Drehung um $\begin{eqnarray} k \cdot 90^{\circ} \end{eqnarray}$ (zum Beispiel gegen den Uhrzeigersinn) bedeutet. Und ansonsten mußt du für $\begin{eqnarray} \left\{ \delta_0, \delta_1, \delta_2, \delta_3 \right\} \end{eqnarray}$ ein Untergruppenkriterium nachweisen. Du kannst da geometrisch argumentieren oder mit Hilfe von Permutationen (siehe die Darstellung von $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ in meinem vorigen Beitrag). Ersteres erscheint mit einfacher. Aber hast du überhaupt a) schon gelöst? Es ist sinnvoller, erst einmal eine Sache vollständig auszuarbeiten, bevor man an die nächste geht.
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