Frage bzgl. Notation im Beweis Faktorgruppe G/T(G) torsionsfrei

03.01.2012, 13:13

thinking

Frage bzgl. Notation im Beweis Faktorgruppe G/T(G) torsionsfrei

Hi,

der Aufgabentext lautet:
Für eine abelsche Gruppe G sei T(G) die Menge aller Torsionselemente, das sind Elemente mit endlicher Ordnung. Zeigen Sie, dass die zugehörige Faktorgruppe G/T(G) torsionsfrei ist (d.h. außer dem neutralen Element kein weiteres Torsionselement besitzt).

Ich versuch grad den Beweis aus dem Buch "Lehrbuch der Algebra" von Gerd Fischer (S.115) zu verstehen und bin mir bei der Notation sehr unsicher:
Beweis: Angenommen für $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \in ~\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 0 = m(a + T(G)) = ma + T(G) \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} ma \in T(G) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} a \in T(G) \end{eqnarray*}$ .

Im Buch "Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra" von Armin Leutbecher findet sich auf S. 145 ein ähnlicher Beweis zu diesem Beispiel. Es wird aber dieselbe Notation verwendet.

Ich schreib hier mal wie ich den Beweis versteh und würd dazu gern wissen ob ich ihn falsch interpretiere oder es bessere Überlegungen gibt.
Was hier verwendet wird sind Faktorgruppen, d.h. T(G) muss Normalteiler sein, sprich T(G) ist Untergruppe einer abelschen Gruppe und somit selbst wieder abelsch und daher Normalteiler. Der Beweis das T(G) Untergruppe ist findet sich auch im Fischer S.114.
Wenn ichs aber nun richtig versteh besteht eine Faktorgruppe ja aus Mengen. D.h. die Elemente der Faktorgruppe sind Mengen, nämlich die (Links)nebenklassen des Normalteilers.
Die 0 aus dem Beweis meint aber das neutrale Element dieser Faktorgruppe und das wiederum ist der Normalteiler, also T(G).
Was ich jetzt nicht ganz versteh ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl. Zumindest kenn ich keine passende Definition wie man zwei Gruppen, also G und Z, miteinander "einfach so" verknüpft.
Die Faktorgruppe wird hier Additiv geschrieben und in $\begin{eqnarray*} 0 = m(a + T(G)) = ma + T(G) \end{eqnarray*}$ wird im linken Term ein Element zu T(G) addiert, d.h. das stell ich mir eigentlich als Vereinigung vor weil ja T(G) eine Menge ist.
Im rechten Term wird eigentlich $\begin{eqnarray*} mT(G) = T(G)+T(G)+.....+T(G) = T(G)\cup .... \cup T(G) = T(G) \end{eqnarray*}$ verwendet, richtig?
Den anderen Ausdruck versteh ich dann als $\begin{eqnarray*} ma = a + .... + a \end{eqnarray*}$ und zwar m-mal.

Kurz gesagt, der Beweis drückt aus, dass das neutrale Element 0 der Faktorgruppe nur dann entsteht wenn $\begin{eqnarray*} ma \end{eqnarray*}$ ein Element endlicher Ordnung bildet und somit auch $\begin{eqnarray*} a \in T(G) \end{eqnarray*}$ sein muss.

Danke fürs drübersehen und etwaige Tipps.

03.01.2012, 13:43

galoisseinbruder

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Hallo,

Dein Hauptproblem scheint mir folgendes zu sein:

Zitat:

Was ich jetzt nicht ganz versteh ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl. Zumindest kenn ich keine passende Definition wie man zwei Gruppen, also G und Z, miteinander "einfach so" verknüpft.

Man verknüpft hier zwei Gruppen nicht einfach so, das ist schlicht eine verkürzte Schreibweise (die man als Abb $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \to G \end{eqnarray*}$ auffassen kann)
dafür

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ma = a + .... + a \end{eqnarray*}$ und zwar m-mal.

Hab den Fischer nicht da, aber mein Bosch definiert das direkt unter der Def. von Gruppen, ebenso mein Skript.

Woher hast du dann die Aussage,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} mT(G) = T(G)+T(G)+.....+T(G) = T(G)\cup .... \cup T(G) = T(G) \end{eqnarray*}$

dass die Addition von Nebenklassen ihre Vereinigung wäre? In diesem Fall stimmt es zwar i.A. aber nicht.
Die Summe zweier Mengen A,B (Teilmengen einer Gruppe (G,+)) ist definiert als
$\begin{eqnarray*} A+B=\{a+b | a\in A, b\in B\} \end{eqnarray*}$ .
So ist z.B. $\begin{eqnarray*} G=(\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ , A die Menge aller geraden Zahlen, B die Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen:
$\begin{eqnarray*} 1 \notin A \cup B \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 1=4+(-3)\in A+B \end{eqnarray*}$

03.01.2012, 19:56

thinking

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Ich hab grad die gelegenheit gehabt im Bosch nachzusehen und das macht die Sache schon verständlicher.
Die Summe zweier Mengen kommt mir auch nicht bekannt vor, aber danke für Erklärung.

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