Grenzwert einer Potenzreihe I

03.01.2012, 13:21

Matze1991

Grenzwert einer Potenzreihe I

Meine Frage:
Von folgender Reihe soll der Konvergenzbereich bestimmt werden:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{3n-2} }{n!} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ist es nun richtig, wenn ich das Quotientenkriterium verwende und wie folgt vorgehe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n!} }{\frac{1}{(n+1)!} } \end{eqnarray*}$

Edit: + Betragsstriche

03.01.2012, 13:32

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Potenzreihe I
Dazu müßte aber die Potenzreihe in der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cdot (x- x_0)^n \end{eqnarray*}$ vorliegen, was aber hier nicht der Fall ist.

Das mag zwar bei dieser Aufgabe keine Auswirkung haben, weil es sich hier im Grunde um die Exponentialreihe handelt, aber Ordnung muß sein. smile

03.01.2012, 13:33

Matze1991

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RE: Grenzwert einer Potenzreihe I
Und wie habe ich dann vorzugehen ? Mir fällt gerade auf, es kommen ja auch nicht alle Potenzen von x vor, da darf ich das Quotientenkriterium doch garnicht verwenden, oder ?

03.01.2012, 13:46

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RE: Grenzwert einer Potenzreihe I
Das Quotientenkriterium darfst du immer anwenden, aber eben komplett und nicht mit der von dir abgespeckten Version.

Oder du formst um: $\begin{eqnarray*} x^{3n-2} = x^{-2} \cdot x^{3n} \end{eqnarray*}$

Den 1. Faktor kannst du vor die Summe ziehen und beim 2. Faktor substituierst du z = x³ .

03.01.2012, 13:48

Matze1991

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RE: Grenzwert einer Potenzreihe I
Wie würde das dann aussehen? Irgendwie verstehe ich nicht, wie du das mit der Substitution meinst :/

03.01.2012, 14:11

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Potenzreihe I
Meine Güte, ist das denn so schwer? unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{3n-2} }{n!} = x^{-2} \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{3n} }{n!} = x^{-2} \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du "deine" Quotientenregel anwenden.

24.01.2012, 10:51

in_line

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Was macht man dann mit dem, was man vor die Summe gebracht hat? Muss man da am Ende beim Ergebnis des Konvergenzradius der Potenzreihe noch was ändern, da man 1/x² herausgezogen hat?

24.01.2012, 11:06

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Zitat:

Original von in_line
Was macht man dann mit dem, was man vor die Summe gebracht hat?

Gar nichts. Es geht doch um das Konvergenzverhalten der Reihe. Und darauf hat ein Faktor, der vor der Reihe steht, keinen Einfluß.

24.01.2012, 11:50

in_line

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Ja, aber wir haben die ursprüngliche Reihe ja verändert, macht das trotzdem nichts aus?

24.01.2012, 11:56

klarsoweit