Dichte des Produktes zweier unabhängig gleichverteilter ZV

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PeterHoffe Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte des Produktes zweier unabhängig gleichverteilter ZV
Meine Frage:
Hallo, ich grüble grad über ein Problem, dass mir nicht so recht klar werden will.
Ich habe zwei unabhängige gleichverteilte ZV X,Y, also X,Y ~ R(0,1).

Außerdem ist bereits die Dichte des Produktes der beiden gegeben.



Zu ziegen ist, dass diese Dichte tatsächlich gilt. Als Hinweis ist

gegeben.

Meine Ideen:
Ich bin ehrlich gesagt ein bisschen ratlos, verstehe auch den Hinweis nicht. Ich würde mich freuen wenn mir jemand Klärung verschaffen könnte.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte des Produktes zweier unabhängig gleichverteilter ZV
Hallo,
Was genau verstehst du am Hinweis nicht? Wie man ihn "zeigt", oder was er bedeutet?
Grob sagt er: Die Wahrscheinlichkeit von dem Produkt ist gleich der Wahrscheinlichkeit, wenn ich mir jeden Wert den Y annehmen kann, hernehme und die Wahrscheinlichkeiten "aufsummiere".
Ist etwas schwer das verständlich auszudrücken. Am besten ist es zu begreifen wenn man etwas länger draufschaut. Falls da noch Probleme sind, sag bescheid.

Zur Aufgabe: Mit dem Hinweis rechnest du im Prinzip die Verteilungsfunktion von XY aus. Dann erhälst du die Dichte indem du diese ableitest. Also du musst die rechte Seite ausrechnen, und dann nach t ableiten, und wenn du dich nicht verrechnet hast, sollte das richtige rauskommen.

Ach ja und vielleicht noch als Tip: Die rechte Seite ist nun deshalb schöner, weil du ja nun den Wert für Y kennst (nämlich y). Das würde ich mal einsetzten.

Schöne Grüße
PeterHoffe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte des Produktes zweier unabhängig gleichverteilter ZV
Ok, das aufsummieren kommt vermutlich durch das Integral zustande, soweit klar. Der Teil innerhalb ist ja eigentlich nur relevant für 0<=y<1, da nur in diesem Bereich , ansonsten ist das ja 0.
D.h. Eigentlich müsste das ganze sich ja so vereinfachen lassen, ich habe hier schonmal Y durch y ersetzt.:

Allerdings weiß ich jetzt nicht mehr so recht was ich daraus machen soll. Kann ich das y jetzt aus der Wahrscheinlichkeit rausziehen? Also sowas wie

Dann würde sich y ja nur linear verhalten, das integral davon also quadratisch sein.

Ist das der richtige Ansatz?
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte des Produktes zweier unabhängig gleichverteilter ZV
Also eingesetzt hast du schonmal richtig. Die Integrationsgrenzen brauchst du nicht, denn das steckt ja (wie du selbst schreibst) im f_Y drin (alternativ kannst du auch das f_Y weglassen und die Integrationsgrenzen stehen lassen).

Allerdings rausziehen darfst du es nicht. Beachte vielmehr dass X gleichverteilt (auf (0,1)) ist. Also was ist denn konkret P(X < a) für a \in (0,1) und was für a >= 1?
PeterHoffe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte des Produktes zweier unabhängig gleichverteilter ZV
Naja, für P(X<a), gilt das selbe wie für Y, also P(X<a) = a für a \in (0,1) und 1 für a>=1. Aber wie wirkt sich das auf P(Xy < t) aus?
Ist das jetzt sowas wie
also
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte des Produktes zweier unabhängig gleichverteilter ZV
Vielleicht gehts auch anders, aber ich würde mal durch y teilen und dann entsprechendes für a einsetzen. Die Fallunterscheidung kannst du dann über integrationsbereich aufteilung machen.
 
 
PeterHoffe Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, durch y teilen? Das ist mir nicht klar. Kannst du mir das nochmal irgendwie ausformulieren? Da is mir jetzt einfach nicht klar warum man das machen kann und was sich da dann warum ändert. Tut mir leid. Komm mir grad ein bisschen blöd vor unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht darum, dass du falsch umgeformt hast:

Für positive (was ja für dein Integrationsintervall zutrifft) gilt

,

demnach ist deine Formel zu



zu korrigieren.
PeterHoffe Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ok. Wusste nicht, dass man das einfach so machen kann.
Also wenn ich das jetzt anwende, sieht das schon ganz gut aus, ist aber irgendwie noch nicht ganz richtig:


Ändert sich da was an den grenzen des Integrals oder so? Rauskommen müsste ja:
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, du musst dabei beachten, dass t/y nicht größer als 1 werden darf.
Die zwei Fälle (also größer 1 kleiner 1) kannst du wie schon gesagt durch aufteilung des Integrationsbereiches betrachten.
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