Funktion mit Wurzel 1te Ableitung (vereinfachen)

13.01.2007, 00:20

Jens123

Funktion mit Wurzel 1te Ableitung (vereinfachen)

Hallo,

haben von unsererm Lehrer einen Übungszettel bekommen, auf diesem steht z.B. diese Aufgabe $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
(es soll die 1te Ableitung gebildet werden)

Dies ist auch nicht das Problem, aber auf dem Zettel stehen folgende Lösungschritte:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Wie komm ich z.B. von dem $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}} \end{eqnarray*}$ (ich meine die genauen Schritte also Step by Step verwirrt

)

Ich würde die Aufgabe viel einfacher Lösen, aber ich brauch die anderen Lösungsschritte für die weiteren Aufgaben diese viel Komplexer sind.

Grüße
Jens

13.01.2007, 00:28

derkoch

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$\begin{eqnarray*} f(x)= x^{\frac{3}{2}} = (x^3)^{\frac{1}{2}}= \sqrt{x^3} \end{eqnarray*}$

hilft dir das? Augenzwinkern

13.01.2007, 00:31

sqrt4

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er schreibt das so um.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3} \end{eqnarray*}$

dann mit der Kettenregel.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^3}}\cdot(3x^2) \end{eqnarray*}$

13.01.2007, 00:33

Jens123

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noch nicht Wirklich ist spät am Abend und ich hab immer ein paar Probleme mit Brüchen traurig

Die Regel von dir ist mir klar, aber komm halt trotzdem nicht auf den ersten Schritt ... wenn ich den kapiert habe klappt der Rest dann auch

Bitte noch nen kleinen Tip Gott

EDIT1: Kettenregel hatten wir noch nicht mit Wurzeln nur das Simple mit (...)^n

EDIT2: ich mach mal soweit wie ich komme vll. schaff ich es jetzt auch dank euch erstmal!!!

13.01.2007, 00:37

derkoch

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ist halt ganz normale potenzregel!

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{b}{c}}= (a^b)^{\frac{1}{c}} \end{eqnarray*}$

oder auch:

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{b}{c}}= (a^{\frac{1}{c}} )^ b \end{eqnarray*}$

je nachdem was gebraucht wird!

fretisch!

13.01.2007, 01:00

Jens123

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Hachja :-) muß mal fix loswerden das das Forum echt spitze ist!

Hab meine Problematik rausbekommen dank euch Freude

Würde ja die genaue Lösung mit einzelschritten Posten, bin mir aber nicht sicher ob das erwünscht ist? (Lern effekt usw.)

Auf jeden Fall vielen vielen vielen DANK!!! smile

13.01.2007, 15:34

Jens123

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Sitz seit ewig schon wieder vor ner Aufgabe und komm einfach nicht weiter verwirrt

(ich nehm gleich nochmal den Thread ist ja das gleiche Thema)

Differenziert werden soll $\begin{eqnarray*} x^{-\frac{4}{5}} \end{eqnarray*}$

Das ist ja umformuliert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^4)^\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$

Nun die Quotientenregel + Verkettungsregel anwenden komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} -\frac{(4x^3)(x^4)^\frac{4}{5}}{5((x^4)^\frac{4}{5})^2} \end{eqnarray*}$

Dies nun wieder Kürzen und ich erhalte:
$\begin{eqnarray*} -\frac{4x^3}{5(x^4)^\frac{4}{5}} \end{eqnarray*}$

Ich hätte an dieser Stelle aufgehört mit Zusammenfassen bzw. den Nenner noch als Wurzel geschrieben...in der Lösung steht aber folgender Term:
$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{5x\sqrt[5]{x^4}} \end{eqnarray*}$

Meine 1te Frage ist welche Regel hier angewandt wurde um von meinem Term auf die Lösung zu kommen und meine 2te Frage ist woher weiß ich was ich machen muß? Mich verwirrt das alles im Moment total, also wenn muß ich aufhören mit Zusammenfassen und warum? Oder warum muß ich bzw. ist es Sinnvoll manche Dinge umzuschreiben? Gibt es da ein paar allgemein gültige Hinweise die man beachten sollte? Seh da nicht mehr richtig durch :-(

Viele Grüße
Jens

13.01.2007, 16:02

derkoch

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Zitat:

Original von Jens123
Sitz seit ewig schon wieder vor ner Aufgabe und komm einfach nicht weiter verwirrt

Da liegt der fehler:

$\begin{eqnarray*} ((x^4)^{\frac{1}{5}})^2 \neq ((x^4)^\frac{4}{5})^2 \end{eqnarray*}$

13.01.2007, 16:46

Jens123

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Hallo,
stimmt da lag der Fehler Hammer

aber komm trotzdem nicht weiter traurig

Ich habe jetzt die Ableitung gebildet und bekomme:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{\left(4x^{3}\right)\left(x^{4}\right)^{\frac{4}{5}}}{5\left(\left(x^{4}\right)^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \end{eqnarray*}$
raus...Aber egal was ich tu, ich komm nicht Ordentlich von Term weg (weiß nicht wie ich ihn vereinfachen kann).

Welche Schritte sollte man zuerst Durchführen um die Ableitung zu vereinfachen? Bruch Erweitern? Klammern auflösen?
Hab keine Ahnung was ich jetzt so richtig damit tun soll...
Muß doch sowas wie eine allgemeine Vorschrift geben wo man jetzt Anfängt? CAS könnens ja auch und gehen immer die gleichen Schrittfolgen...

Viele Grüße
Jens

13.01.2007, 16:53

Calvin

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Mal eine Frage unabhängig davon, wie man die ganzen Potenzen zusammenfasst. Geht es konkret darum, die Quotienten-/Kettenregel zu üben? Warum nehmt ihr nicht einfach die für alle $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gültige Regel

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^r \quad \Rightarrow \quad f'(x)=rx^{r-1} \end{eqnarray*}$

Hier mit Quotienten- und Kettenregel zu arbeiten ist IMHO mit Kanonen auf Spatzen geschossen und bringt außer einer Vielzahl von Fehlermöglichkeiten keinen besonderen Nutzen.

13.01.2007, 16:59

Jens123

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Klar kann man die Aufgabe einfach Lösen, aber es geht wie du schon vermutet hast um das Üben der Vernüpfungen von den Regeln... man könnte es ja auch mit der Produkt + Kettenregel versuchen aber da ich eh Probleme habe mit Brüchen bietet es sich an das zu Üben....

Sind halt auch noch Aufgaben wie z.b. $\begin{eqnarray*} \frac{2x-5}{\sqrt{3x-x^2}} \end{eqnarray*}$ auf dem Arbeitsblatt ... aber wenn ich diese einfache Aufgabe nicht Fehlerfrei schaffe bekomm ich die andere auch nicht hin.

Das Ableiten bereitet mir auch nicht so viele Probleme sondern das Vereinfachen! Gibt halt wirklich so vieles was man machen kann...

EDIT: ist nicht mehr so wichtig! Habs soweit raus bekommen Freude

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