Extremwerteaufgabe Waldweg/Straße

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03.01.2012, 18:13	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerteaufgabe Waldweg/Straße Meine Frage: Ich habe bald Schularbeit aber ich kenne mich bei manchen Beispielen nicht aus... Dieses ist eines von ihnen: Ein Bauernhof liegt 1000m von einer Straße entfernt. Ein Waldweg zweigt im vor dem Hof rechten Winkel von der Straße ab und führt geradlinig 300m am Hof vorbei. Der Bauer, der eine asphaltierte Zufahrt zur Straße plant, hat 3 Möglichkeiten. 1. Direkte Zufahrt zur Straße. 2. 300m zum Waldweg und dann über diesen zur Straße. 3.Zufahrt mit den minimalen Kosten unter teilweiser Verwendung des Waldweges. Berechne die Kosten für diese 3 Varianten, wenn 1m asphaltierte Zufahrtsstraße auf dem Waldweg 360 Euro und sonst 450 Euro kosten. Meine Ideen: 1. und 2. habe ich natürlich schon berechnet, weil es sehr leicht war aber mit 3. habe ich Probleme. Ich habe mir bereits eine Skizze gemacht aber weiß noch immer nicht ganz wie ich das machen soll. Mein Punkt A liegt beim Haus, mein Punkt B irgendwo auf dem Waldweg und mein Punkt C irgendwo auf der Straße... Ist das richtig? Wie geht es weiter?
03.01.2012, 18:21	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerteaufgabe Waldweg/Straße Diese Aufgabe ist im Grunde genauso zu lösen wie die Bergwerksaufgabe hier. Die Grafik kannst du auf deine Aufgabe übertragen: Das Haus steht bei B, die Strecke BA' geht über den Acker zum Waldweg, die Strecke AA' ist der Waldweg.
03.01.2012, 18:22	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich mir fast gedacht. Danke!
03.01.2012, 20:32	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir WILL wieder einmal nicht das richtige Ergebnis herauskommen $\begin{eqnarray} W'=450000-450xo+360\sqrt{300^2+(1000-xo)^2} \end{eqnarray*}$ Stimmt es bis hierher noch? Lg Julia
03.01.2012, 20:34	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, dann muss ich erst mal durchrechnen...
03.01.2012, 20:43	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage: Welche Strecke hast du mit xo bezeichnet? Ich würde die Strecke nehmen, die die eine Kathete im Dreieck darstellt. Sie ist in der Zeichnung rot. Es scheint einerseits, als hättest du das auch so gemacht, aber dann müsste andererseits in der Wurzel ein einfacherer Ausdruck stehen.
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03.01.2012, 20:45	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich habe die gelbe Strecke als x0 bezeichnet...
03.01.2012, 20:49	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Ausgangsgleichung ohne Ableitung lautet: $\begin{eqnarray} W=\sqrt{300^2+(1000-x0)^2}450+360xO \end{eqnarray}$
03.01.2012, 20:50	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, wir sollten es anders machen. (Ich denke auch, die andere Aufgabe wäre einfacher gewesen, wenn wir nicht den Vorschlag von Hoodaly übernommen hätten, sondern die rote und die gelbe Strecke genau andersherum benannt hätten). Die Gleichung wäre dann: f(x) = 360·(1000 - x) + 450·Wurzel aus (300² + x²)
03.01.2012, 21:01	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, bis jetzt habe ich: $\begin{eqnarray} W'=450x0+(360000-360xo) \sqrt{300²+x0^2} \end{eqnarray*}$
03.01.2012, 21:06	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Funktion hast du denn da abgeleitet?
03.01.2012, 21:14	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x) = 360·(1000 - x) + 450·Wurzel aus (300² + x²) $\begin{eqnarray} 450(1/2)\frac{2x0}{\sqrt{300^2+xo^2} }+360000-360x0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W'=\frac{450x0}{\sqrt{300^2+x0^2} }+3600000-360x0 \end{eqnarray*}$
03.01.2012, 21:23	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 360000 fallen bei der Ableitung weg, ebenso wie das x von 360x. Du brauchst auch nicht x0 zu schreiben, einfach x reicht.
03.01.2012, 21:31	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist mir denn das passiert? Naja, auf jeden Fall kommt jetzt das richtige Ergebnis heraus: x=400 und das ganze Wegstück kostet 441000 Euro! Nochmals vielen Dank, sulo!!!
03.01.2012, 21:35	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja diesen Wert für x habe ich auch raus. Gern geschehen.

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