Galois-Erweiterungen, Satz 4, Bosch (Seite 140)

03.01.2012, 19:37

mathinitus

Galois-Erweiterungen, Satz 4, Bosch (Seite 140)

Hallo an all die, die den Bosch haben.

Ich habe eine Frage zu dem im Titel erwähnten Satz. Ist L/K algebraisch, so soll G Untergruppe von Gal(L/K) sein.

Ich frage mich, wieso nur Untergruppe und nicht direkt G=Gal(L/K).
G sind alle Automorphismen von L. Außerdem halten sie alle K fest (per Konstruktion von K), daher müsste doch G=Gal(L/K) sein, oder?

Vielen Dank!

03.01.2012, 21:08

gonnabphd

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Hi,

Aber wer sagt dir denn, dass es nicht noch andere K-Automorphismen von L geben könnte (solche die nicht in G liegen, aber K dennoch fest lassen)?

smile

Addendum: Ich glaube, ich kann dir sogar noch ein Gegenbesipiel geben. Betrachte den algebraischen Abschluss

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \mathbb F_{p^{n!}} \end{eqnarray*}$

und sei $\begin{eqnarray*} \sigma(a)=a^p \end{eqnarray*}$ der Frobenius-Automorphismus auf $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^\infty} \end{eqnarray*}$ . Weiterhin sei die Gruppe

$\begin{eqnarray*} G = \langle \sigma\rangle \end{eqnarray*}$

die vom Frobeniusautomorphismus erzeugte Untergruppe der Autormophismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^\infty} \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Fixkörper gegeben durch $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ , aber der Frobeniusautomorphismus erzeugt nicht die ganze Galois-Gruppe $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb F_{p^\infty}/\mathbb F_p) \end{eqnarray*}$ (diese Aussage ist sogar eine Übung im Bosch, S. 129).

03.01.2012, 21:10

mathinitus

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Ich dachte alle Automorphismen von L liegen in G, also insbesondere die K-Automorphismen von L.

03.01.2012, 21:22

gonnabphd

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Zitat:

Ich dachte alle Automorphismen von L liegen in G, also insbesondere die K-Automorphismen von L.

Es steht doch im Satz explizit: "Sei G eine Untegruppe von Aut(L)."

03.01.2012, 21:30

mathinitus

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Zitat:

Original von gonnabphd
Es steht doch im Satz explizit: "Sei G eine Untegruppe von Aut(L)."

Tut mir leid. Da habe ich immer Gruppe gelesen, du hast vollkommen recht.

Dann vielleicht noch eine Frage zu der Argumentation am Ende des Beweises:

[K(a):K]<=n

Der Grund für diesen Zusammenhang aus dem Beweis wird einfach mit "vorstehender Argumentation" genannt. Was genau ist damit gemeint?

03.01.2012, 21:47

gonnabphd

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Das Minimalpolynom von a hat höchstens n verschiedene Nullstellen, da die Menge

$\begin{eqnarray*} \{\sigma(a)\mid \sigma \in G\} \end{eqnarray*}$

alle Nullstellen enthalten muss. Bzw. anders:

$\begin{eqnarray*} \prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a)) \end{eqnarray*}$

ist ein Polynom n-ten Grades, welches invariant unter allen Elementen in G ist. Folglich ist es in K[X]. Ausserdem ist a Nullstelle davon, weil id ein Element von G sein muss.

03.01.2012, 22:11

mathinitus

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Zitat:

Original von gonnabphd
Das Minimalpolynom von a hat höchstens n verschiedene Nullstellen, da die Menge

$\begin{eqnarray*} \{\sigma(a)\mid \sigma \in G\} \end{eqnarray*}$

alle Nullstellen enthalten muss.

Ich bin vorher davon ausgegangen, dass G=Aut(L), das war mir die Sache klar. Nun weiß ich aber, dass G nur eine Untergruppe von Aut(L) ist. Woher weiß ich dann, dass zu jeder Nullstelle b vom Minimalpolynom von a ein Element $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ aus G existiert, so dass $\begin{eqnarray*} \sigma(a)=b \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von gonnabphd
Bzw. anders:

$\begin{eqnarray*} \prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a)) \end{eqnarray*}$

ist ein Polynom n-ten Grades, welches invariant unter allen Elementen in G ist. Folglich ist es in K[X]. Ausserdem ist a Nullstelle davon, weil id ein Element von G sein muss.

Das geht ja erstmal nur für endliche n. Aber für unendliche n ist die Aussage [K(a):K]<=n ja auch trivial. Sei also n endlich. Hier muss ja nicht mehr wie im Beweis eine Permutation der Nullstellen stattfinden, da es ja verschiedene $\begin{eqnarray*} \sigma \in G \end{eqnarray*}$ mit dem gleichen Bild von a geben könnte. Wie begründe ich hier also, dass es ein Polynom n-ten Grades, welches invariant unter allen Elementen in G ist, ist?

04.01.2012, 09:37

gonnabphd

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Zitat:

Na, du solltest dir die Voraussetzungen im Satz schon genau durchlesen. geschockt

Es wird da gefordert: (2 Fälle)

(i) G ist endlich
(ii) L/K ist algebraisch

Für (i) gilt meine Argumentation. Für (ii) gibt es ein Minimalpolynom von a, da a algebraisch über K. Da $\begin{eqnarray*} \sigma(a) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle vom Minimalpolynom sein muss für jedes $\begin{eqnarray*} \sigma\in G \end{eqnarray*}$ , kann es höchstens endlich viele $\begin{eqnarray*} \sigma_1, \ldots, \sigma_k \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} \sigma_1(a), \ldots, \sigma_k(a) \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden. Nun wählt man ein maximales solches System aus und betrachtet

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^k (X - \sigma_i(a)) \end{eqnarray*}$

Da das System maximal ist, muss diese Polynom invariant unter G sein. Folglich also ein Polynom in K[X]. Da alle Nullstellen paarweise verschieden sind, sieht man, dass das Minimalpolynom von a separabel ist (a ist eine der Nullstellen). Da die K-Automorphismen transitiv auf der Nulltellenmenge operieren, sieht man, dass die Erweiterung [K(a):K] normal ist. Insgesamt also Galois (da normal und separabel).

04.01.2012, 09:37

gonnabphd

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Zitat:

Na, du solltest dir die Voraussetzungen im Satz schon genau durchlesen. geschockt

Es wird da gefordert: (2 Fälle)

(i) G ist endlich
(ii) G ist unendlich, L/K ist algebraisch

Für (i) gilt meine Argumentation. Für (ii) gibt es ein Minimalpolynom von a, da a algebraisch über K. Da $\begin{eqnarray*} \sigma(a) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle vom Minimalpolynom sein muss für jedes $\begin{eqnarray*} \sigma\in G \end{eqnarray*}$ , kann es höchstens endlich viele $\begin{eqnarray*} \sigma_1, \ldots, \sigma_k \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} \sigma_1(a), \ldots, \sigma_k(a) \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden. Nun wählt man ein maximales solches System aus und betrachtet

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^k (X - \sigma_i(a)) \end{eqnarray*}$

Da das System maximal ist, muss diese Polynom invariant unter G sein. Folglich also ein Polynom in K[X]. Da alle Nullstellen paarweise verschieden sind, sieht man, dass das Minimalpolynom von a separabel ist (a ist eine der Nullstellen). Da die K-Automorphismen transitiv auf der Nulltellenmenge operieren, sieht man, dass die Erweiterung [K(a):K] normal ist. Insgesamt also Galois (da normal und separabel).

04.01.2012, 10:26

mathinitus

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Die Argumentation im Satz habe ich schon verstanden. Du hast nur etwas anderes behauptet.

Du hast nämlich erstmal nicht von
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^k (X - \sigma_i(a)) \end{eqnarray*}$
gesprochen sondern von
$\begin{eqnarray*} \prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a)) \end{eqnarray*}$ .

Das heißt in deinem Polynom können bestimmte Faktoren mehrfach auftauchen. Außerdem hast du behauptet, dass
$\begin{eqnarray*} \{\sigma(a)\mid \sigma \in G\} \end{eqnarray*}$
alle Nullstellen des Minimalpolynoms von a beinhalten muss. So wie es im Satz steht, reicht es aber einzusehen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \{\sigma_1(a),\dots,\sigma_k(a)\} \end{eqnarray*}$ Nullstellen des Minimalpolynoms von a sind und jedes Element von G eingeschränkt auf dieser Menge eine Bijektion ist.

Wie eben von mir dargestellt, hast du in beiden Punkten etwas anderes behauptet als der Satz, was aber dennoch richtig sein kann, nur leider sehe ich den Grund dafür noch nicht und wollte ihn daher erfragen.

04.01.2012, 10:56

gonnabphd

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Das stimmt. Ich war davon ausgegangen, dass wir für "[K(a):K]<=n" bloss endliches n betrachten. (Falls n unendlich ist, dann ist die Ungleichung ja trivial.)

In diesem Fall kann man dann tatsächlich das Polynom $\begin{eqnarray*} \prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a)) \end{eqnarray*}$ bilden und sieht, dass es in K[X] liegt. Da a Nullstelle davon ist, muss das Minimalpolynom dieses Polynom teilen. Damit folgt insbesondere, dass $\begin{eqnarray*} \{\sigma(a)\mid \sigma \in G\} \end{eqnarray*}$ alle Nullstellen des Minimalpolynoms von a enthält. Weiterhin folgen damit Separabilität und Normalität der Erweiterung K(a)/K.

Tatsächlich ist

Zitat:

Das Minimalpolynom von a hat höchstens n verschiedene Nullstellen, da die Menge $\begin{eqnarray*} \{\sigma(a)\mid \sigma \in G\} \end{eqnarray*}$ alle Nullstellen enthalten muss.

ohne diese Herleitung nicht so klar, sry.

04.01.2012, 11:11

mathinitus

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Vielen Dank. Ich verstehe alles, was du sagst, nur bei einer Stelle muss ich nochmal nachhaken:

Zitat:

Original von gonnabphd
In diesem Fall kann man dann tatsächlich das Polynom $\begin{eqnarray*} \prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a)) \end{eqnarray*}$ bilden und sieht, dass es in K[X] liegt. Da a Nullstelle davon ist, muss das Minimalpolynom dieses Polynom teilen.

Wie sieht man, dass $\begin{eqnarray*} \prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a)) \end{eqnarray*}$ aus K[X] ist?

04.01.2012, 11:38

gonnabphd

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Zitat:

Wie sieht man, dass $\begin{eqnarray*} \prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a)) \end{eqnarray*}$ aus K[X] ist?

Für $\begin{eqnarray*} \eta \in G \end{eqnarray*}$ haben wir

$\begin{eqnarray*} \eta\left(\prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a))\right) = \prod_{\sigma \in G} (X- (\eta \circ \sigma)(a)) = \prod_{\sigma \in G} (X- \sigma(a)) \end{eqnarray*}$

Da mit $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \eta\circ \sigma \end{eqnarray*}$ ganz G durchläuft. Folglich werden alle Koeffizienten des Polynoms festgehalten unter den $\begin{eqnarray*} \eta \in G \end{eqnarray*}$ .

04.01.2012, 11:45

mathinitus

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Danke, danke.

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