Satz und Lemma zur Summe von Vektorräumen

03.01.2012, 21:55

Kmac

Satz und Lemma zur Summe von Vektorräumen

Meine Frage:
Einen schönen Guten Abend alle zusammen,

Habe gerad mal eine Frage zu einem Lemma und Satz, die ich nicht unterscheiden kann:

Lemma:
Ist V=W1+W2, so sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
i) $\begin{eqnarray*} W_{1}\cap W_{2} = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$
ii)Jedes v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V ist eindeutig darstellbar als v=w1+w2 mit w1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W1 und w2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W2
iii)Zwei von Null verschiedene Vektoren w1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W1 und w2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W2 sind linear unabhängig.

Satz: Ist V endlichdimensional mit UVRe W1 und W2, so sind folgende Bedingungen gleichwertig:
i) $\begin{eqnarray*} V=W_{1}\oplus W_{2} \end{eqnarray*}$
ii)Es gibt Basen (w1,...,wk) von W1 und (u1,...,uk) von W2, sodass (w1,...,wk,u1,...,uk) eine Basis von V ist.
iii) $\begin{eqnarray*} V=W_{1}+ W_{2} \end{eqnarray*}$ und dimV=dimW1+dimW2

Ich verstehe nun das Lemma nicht, insbesondere i. Denn es scheint mir, dass das die Definition/Satz für die Direkte Summe von Untervektorräumen ist.
Ich habe gedacht, dass wenn ich V=W1+W2 habe, dass zum Beispiel mein Durchschnitt $\begin{eqnarray*} W_{1}\cap W_{2} = \left\{ w\in W_{1} \wedge w\in W_{2} \right\} \end{eqnarray*}$ sein kann???? und es muss nicht nur der Nullvektor als Durchschnitt von 2 UVRe sein!

Kann mir bitte jemand sagen wo mein Denkfehler liegt!

Vielen Dank, kmac

Meine Ideen:
s.o.

03.01.2012, 22:10

galoisseinbruder

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Guten Abend,

du überliest das entscheidende:

Zitat:

so sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

das heißt: (i) gdw (ii) gdw (iii) (Daher auch der längliche beweis mit den vielen Schritten)
Lemma heißt nicht vielmehr als Hilfssatz, dort lagert man gern etwas technische teile des beweises eines Satzes aus. Hier folgt der Satz ziemlich schnell aus dem Lemma.
Und

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W_{1}\cap W_{2} = \left\{ w\in W_{1} \wedge w\in W_{2} \right\} \end{eqnarray*}$

kann nicht nur sein, das ist die Definition.

03.01.2012, 22:56

Kmac

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Danke, das ließt sich schon sehr anders, wenn man die Äquivalenz beachtet! Das habe ich wohl üersehen?!?! keine Ahnung weshalb.

Aber noch eine weitere Frage hätte ich:

Ich kann doch auch einen VR V aus zwei UVRe bilden, obwohl der Durchschnitt von den UVRe, Vektoren aus den beiden UVRe sind:
Also:

V=W1+W2 und trotzdem kann $\begin{eqnarray*} W_{1}\cap W_{2} = \left\{ w\in W_{1} \wedge w\in W_{2} \right\} \end{eqnarray*}$ .?

Also als Bsp.

Sei V ein VR über R^3, U,W UVRe von V:
U={(1,0,0),(0,1,0)}
W={(0,0,1),(0,1,0)}

somit ist U+W=V mit
V={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} und der Durschschnitt von U und W ist der Vektor (0,1,0).

Und die direkte Summe kommt dann nur in Frage(bzw. ist dann nur dann definiert), wenn meine UVRe anders definiert sind, so z.b.:
U={(1,0,0),(0,1,0)}
W={(0,0,1)}

oder?

Kann ich dann trotzdem die Aufgabe bekommen: bestimme: $\begin{eqnarray*} V=W\oplus U \end{eqnarray*}$ . Aus: Sei V ein VR über R^3, U,W UVRe von V:
U={(1,0,0),(0,1,0)}
W={(0,0,1),(0,1,0)}
Was gäbe das denn für eine Antwort? bzw. kann es eine solche Frage überhaupt geben??

Danke an alle, die soviel Geduld haben mir das zu erklären! smile

03.01.2012, 23:08

galoisseinbruder

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Wie bereits erwähnt gilt das nch definition:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W_{1}\cap W_{2} = \left\{ w\in W_{1} \wedge w\in W_{2} \right\} \end{eqnarray*}$

Du meinst ist wohl was anderes : $\begin{eqnarray*} W_1 \cap W_2 \not= \emptyset \end{eqnarray*}$

Vektorräume sind solche über Körpern (wie die reellen Zahlen), nicht über anderen Vektorräumen (wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3) \end{eqnarray*}$

Und zu deiner selbst gestellten frage: die ergibt keinen Sinn.
Schau dir nochmal die Def. der direkten Summe an.

Ferner darfst du nicht VR und Basis verwechseln.
{(1,0,0),(0,1,0)} z.B. ist kein VR (es fehlt z.B der Null-Vektor), du meinst den davon erzeugten VR <{(1,0,0),(0,1,0)} >

03.01.2012, 23:39

Kmac

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Hallo galoisseinbruder,
vielen Dank für deine Mühe!
Ich denke, dass ich das jetzt verstehe (soweit für heute mal).
Dass meine selbst gestellte Frage nun keinen Sinn ergibt, sehe ich jetzt auch.

Und auch vielen Dank für die Verbesserung, denn ich habe es falsch aufgeschrieben ohne es zu merken, ich sollte mehr drauf aufpassen!!!

smile

gute Nacht,kmac

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