Funktion aus Gradienten bestimmen

04.01.2012, 11:52

Roonex

Funktion aus Gradienten bestimmen

Aufgabe:
Man soll alle stetig differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ angeben, für die der Gradient $\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x \cdot sin(y) \\ 2y \cdot cos(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Ansatz sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} g(x,y) := \int 2x \cdot sin(y) dx = x^2 \cdot sin(y) + c(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x,y) := \int 2y \cdot cos(x) dy = y^2 \cdot cos(x) + d(x) \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt also $\begin{eqnarray*} c(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen, so dass $\begin{eqnarray*} g(x,y)=h(x,y)=:f(x,y) \end{eqnarray*}$ ? (Bis auf Konstante)

Und ausserdem müsste ja gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta g}{\delta y} = x^2 \cdot cos(y)+c'(y) = 2y \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \frac{\delta h}{\delta x} = -y^2 \cdot sin(x)+d'(x) = 2x \cdot sin(y) \end{eqnarray*}$

Wäre für einen Tipp dankbar.

EDIT: Ok, ein weiterer Ansatz, der mich nicht ans Ziel bringen will Augenzwinkern

Man kann die erste Zeile des Gradienten noch nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ableiten, und die zweite Zeile nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Da es nach dem Satz von Schwarz nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge man ableitet, erhält man $\begin{eqnarray*} 2x \cdot cos(y) = -2y \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$ .

04.01.2012, 13:06

Cel

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Ich stimme allem bis zu "Außerdem müsste ja gelten:" zu. Warum sollte das da unten gelten? Verwechselst du das möglicherweise mit der Integrabilitätsbedingung? Die stellt Bedingungen an die Komponentenfunktionen. Aber in diese Richtung geht auch deine obige Integration, du hast dort nämlich Recht. Die müssten gleich sein bis auf Konstanten ... Wird schwierig, oder? Idee!

Edit: Dein Edit ist genau richtig. Was folgt nun?

Übrigens: Zelda -> Rock

04.01.2012, 15:30

Roonex

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Ich bräuchte noch einen Hinweis... sonst gibt es wegen meinem Papierverbrauch bald keine Wälder mehr geschockt

Sollte jetzt alles durch Umformungen/Einsetzen gehen oder braucht man noch irgendwelche Schritte?

04.01.2012, 15:44

Cel

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RE: Funktion aus Gradienten bestimmen

Zitat:

Original von Roonex
Da es nach dem Satz von Schwarz nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge man ableitet, erhält man $\begin{eqnarray*} 2x \cdot cos(y) = -2y \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich formuliere das mal ein wenig anders.

Wenn es eine solche Funktion f gäbe, dann würde $\begin{eqnarray*} 2x \cdot \cos(y) = -2y \cdot \sin(x) \, \forall \, x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gelten.

Und? Gilt das denn?

04.01.2012, 16:02

Roonex

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Hm, nein das gilt nicht für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Ok aber noch mal eine generelle Frage zur Aufgabenstellung:

Für den Satz von Schwarz braucht man eine mind. 2-fach stetig diffbare Funktion, nach der Aufgabenstellung ist nur nach 1-fach stetig diffbaren Funktionen gesucht. Aber andererseits weiß man durch Kenntnis der Ableitung, dass die Funktion doch wieder 2-fach stetig diffbar ist...

Meinst du also dass die Lösung der Aufgabe ist, dass es so eine Funktion überhaupt nicht gibt?

04.01.2012, 23:37

Cel

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Genau. Es gibt eine solche Funktion nicht.

Na ja, eine 2 mal stetig diffbare Funktion ist ja auch 1 mal stetig diffbar, insbesondere. Die Begründung, warum die Funktion doch auch 2 mal stetig diffbar sein muss (sogar Unendlich oft) lieferst du richtig.

Edit: Aufziehen kannst du das als Widerspruch: Angenommen, es gäbe eine 1 mal stetig diffbare Funktion, dann müsste aber folgen ... usw.

05.01.2012, 14:01

Roonex

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Danke für die Unterstützung! Hab das Übungsblatt heute abgegeben. Freude

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