ungleichung lösen

04.01.2012, 12:27

Danielxxx

ungleichung lösen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} 8/(2-x-x^2)\geq -x \end{eqnarray*}$

Für diese Ungleichung sollen alle x in R gefunden werden, die die Gleichung erfüllen.
Wenn ich die Klammer rüber multipliziere dreht sich das relationszeichen um?

Meine Ideen:
Ich hänge leider fest. habe so mgestellt das auf der einen seite die 8 bleibt und der rest auf der anderen und mit -1 multipliziert um pq-formel anzuwenden. aber da ist ja noch nicht schluss. weiß auch nicht ob das richtig ist.

04.01.2012, 12:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ungleichung lösen

Zitat:

Original von Danielxxx
Wenn ich die Klammer rüber multipliziere dreht sich das relationszeichen um?

Ja, wenn der Nenner negativ ist. Dafür mußt du also Fallunterscheidungen machen.

04.01.2012, 12:48

danielxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 8\leq (x)*(x^2+x-2) \end{eqnarray*}$

wenn man pq anwendet kommen als lösung -2 und 1 raus.
aber wie gehe ich weiter vor?
ist dies richtig?

04.01.2012, 13:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von danielxxx
$\begin{eqnarray*} 8\leq (x)*(x^2+x-2) \end{eqnarray*}$

Das stimmt natürlich nur unter der Annahme, daß $\begin{eqnarray*} 2-x-x^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist, was aber nicht für alle x der Fall ist.

Zitat:

Original von danielxxx
aber wie gehe ich weiter vor?

Bringe die 8 auf die rechte Seite und faktorisiere den Term.

04.01.2012, 14:35

danielxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich -8 rechne, was soll ich da faktorisieren?
bräuchte bei diesem schritt etwqas mehr hilfe

04.01.2012, 14:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von danielxxx
wenn ich -8 rechne, was soll ich da faktorisieren?

Den Term, der dann eben dort steht.

Zitat:

Original von danielxxx
bräuchte bei diesem schritt etwqas mehr hilfe

Bestimme die Nullstellen von dem Term.

04.01.2012, 14:51

danielxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 0\leq (x)*(x^2+x-2)-8 \end{eqnarray*}$
verstehe nicht was man da noch faktorisieren kann. man könnte doch höchstens ausklammern oder nich?

04.01.2012, 14:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich mußt du erstmal die Klammer ausmultiplizieren. smile

04.01.2012, 15:05

danielxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 0\leq x^3+x^2 -2x -8 \end{eqnarray*}$
aber jetz kann ich durch das absolute glied nun nich mehr faktorisieren.

04.01.2012, 15:09

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ungleichung lösen
Aufgabe ist doch

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{2-x-x^2} \geq -x \end{eqnarray*}$

oder?
also:

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{x^2+x-2} \leq x \end{eqnarray*}$

und eh du jetzt etwas veränderst : untersuche den Nenner
dh schreibe den Term x^2+x-2 als Produkt zweier Linearfaktoren

und überlege dann, für welche Werte x ist dieses Produkt
- positiv ?
- negativ ?

und multipliziere dann erst (unter der Berücksichtigung des Vorzeichens) die Ungleichung mit dem Nenner

.

04.01.2012, 15:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von danielxxx
$\begin{eqnarray*} 0\leq x^3+x^2 -2x -8 \end{eqnarray*}$
aber jetz kann ich durch das absolute glied nun nich mehr faktorisieren.

Deswegen sagte ich ja, daß du die Nullstellen bestimmen sollst.

@original: auf das Thema mit dem Vorzeichen des Nenners wäre ich schon noch gekommen.

04.01.2012, 15:37

danielxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Also Nullstellen des Nenners sind -2 und 1 zwischen den Nullstellen wird die Fkt negativ.
Nullstellen der ausmultiplizierten fkt ist +2.
Das heißt ja Lösungsmenge wäre von { ]-2,1[ U [2, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ [ }
allerdings ist die lösung falsch.
was habe ich falsch gemacht?

04.01.2012, 15:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst irgendwie 3 Schritte auf einmal. Jetzt solltest du erstmal die rechte Seite faktorisieren. Dann kann man sich überlegen, wann ein Produkt >= 0 ist.

04.01.2012, 15:56

original

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{2-x-x^2} \geq -x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von danielxxx

.. Lösungsmenge wäre von { ]-2,1[ U [2, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ [ }

allerdings ist die lösung falsch.

und wieso meinst du denn, dass dies falsch sei?
.

04.01.2012, 16:28

danielxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

weil die lösung laut tutorin ]-2,1[ U [1, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ [ } ist.
das ist das verwirrende.
komme leider nicht darauf.

verstehe immernoch nicht wie man da genau faktorisieren soll.
$\begin{eqnarray*} x^3+x^2 -2x -8 \end{eqnarray*}$ wie soll ich da die Nst bestimmen im Kopf/schriftlich ohne hilfsmittel? gibs da n trick?

04.01.2012, 17:14

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von original
und wieso meinst du denn, dass dies falsch sei?

Das frage ich mich auch, denn es ist richtig!

$\begin{eqnarray*} \left]-2,1\right[ \,\cup\, \left[1,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ ist Unfug, denn x=1 liegt nicht mal im Definitionsbereich. Und setzt man mal die angebliche Lösung 1.5 ein, sieht man auch, dass für diesen Wert die Ungleichung nicht erfüllt ist. unglücklich

P.S.: Ganz abgesehen davon: Warum sollte man so kompliziert $\begin{eqnarray*} \left]-2,1\right[ \,\cup\, \left[1,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ schreiben, wenn diese Vereinigung doch offenbar gleich $\begin{eqnarray*} \left]-2,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ ist? Teufel

04.01.2012, 17:32

danielxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir auch aufgefallen. aber eig macht sie nie n fehler xD
verstehe auch nicht so ganz was das soll.
wenn ich wieder in der uni bin werde ich ma fragen müssen.

wie kann man die nullstellen von polynomen grad 3 am leichtesten herausfinden ohne hilfsmittel, wenn man nicht faktorisieren kann?

04.01.2012, 17:39

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Am leichtesten ist bei solchen Schulaufgaben immer das Probieren, manchmal auch als "Raten einer Nullstelle" bezeichnet. Natürlich kann man sich auch durch Cardano quälen, aber das ist elend lang und fehleranfällig, zumal dann, wenn die kubische Gleichung nicht sofort in reduzierter Normalform vorliegt, was leider auch hier zutrifft.

04.01.2012, 18:39

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber

P.S.: Ganz abgesehen davon: Warum sollte man so kompliziert $\begin{eqnarray*} \left]-2,1\right[ \,\cup\, \left[1,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ schreiben, geschockt

also René : die richtige Lösungsmenge ist schon

$\begin{eqnarray*} \left]-2,1\right[ \,\cup\, \left[2,\infty\right[ \end{eqnarray*}$

das Intervall (1 ; 2) gehört also NICHT dazu .. siehe oben.. Wink

und nebenbei: die oben auftauchende kubische Gleichung ist bei dieser Aufgabe
doch wohl eher ein Irrweg?!

04.01.2012, 18:54

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von original
also René : die richtige Lösungsmenge ist schon

$\begin{eqnarray*} \left]-2,1\right[ \,\cup\, \left[2,\infty\right[ \end{eqnarray*}$

das Intervall (1 ; 2) gehört also NICHT dazu

Hab ich was anderes gesagt??? Lies doch bitte meinen Beitrag in Gänze (!) genau durch, bevor du mir was unterschiebst. Forum Kloppe

Zitat:

Original von original
und nebenbei: die oben auftauchende kubische Gleichung ist bei dieser Aufgabe
doch wohl eher ein Irrweg?!

Nein, wieso? Die Lösung 2 dieser Gleichung ist schon wichtig für die Gesamtlösung der Aufgabe.

04.01.2012, 19:41

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber
Forum Kloppe

..
Nein, wieso? Die Lösung 2 dieser Gleichung ist schon wichtig für die Gesamtlösung der Aufgabe.

in Gänze (!) genau ... gelesen traurig

und wieso:? ->
also:
$\begin{eqnarray*} \frac{8}{x^2+x-2} \leq x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{(x+2(x-1)} \leq x \end{eqnarray*}$

und wenn nun also x> 2 ist, dann ist der Nenner positiv, dh:

$\begin{eqnarray*} 8\leq x(x+2(x-1) \end{eqnarray*}$

gut sichtbar ohne kubische (Un)Gleichung also dann für alle x >2:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 4 \cdot 1 < x(x+2(x-1) \end{eqnarray*}$

na ja, egal ..- was ist wichtig...

04.01.2012, 23:22

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von original
gut sichtbar ohne kubische (Un)Gleichung also dann für alle x >2:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 4 \cdot 1 < x(x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$

Da stimme ich dir zu. Aber wie "gut sichtbar" ist denn in dieser Darstellung, dass auch

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 4 \cdot 1 > x(x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x<2 \end{eqnarray*}$ gilt? Das ist nämlich ebenfalls noch nachzuweisen! Was ist denn so schlimm daran, das über die einfache Zerlegung

$\begin{eqnarray*} x^3+x^2 -2x -8 = (x-2)(x^2+3x+4) \end{eqnarray*}$

nachzuweisen, wobei der zweite, quadratische Faktor offenbar für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ positiv ist, dass du das gleich abwertend als Irrweg bezeichnen musst? Finger2

05.01.2012, 00:47

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber
..
Aber wie "gut sichtbar" ist denn in dieser Darstellung, dass auch

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 4 \cdot 1 > x(x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x<2 \end{eqnarray*}$ gilt? Das ist nämlich ebenfalls noch nachzuweisen!

ja, sorry, irr weg ! aber bringt die kubische Gleichung was - ausser für x>2?
und:
nein, denn auf diese Ungleichung kommst du zB gar nicht für x<-2 .. (<2 )
da doch diese Aufgabe gelöst werden soll :

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{(x+2)(x-1)} \leq x \end{eqnarray*}$

Zur Lösung der Aufgabe hätte ich Fallunterscheidung vorgeschlagen..
dh hier zB vier Teilintervalle untersuchen ..

aber es gibt ja allerlei Wege...

05.01.2012, 07:23

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ein ziemlicher Streithammel, der unbedingt andere (solide!) Wege schlecht machen will, obwohl der eigene durchaus angreifbar ist: Den Einwand eines sauberen Nachweises vom

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 4 \cdot 1 > x(x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x<2 \end{eqnarray*}$ , der bei deinem Weg unbedingt noch nötig ist, hast du nicht ausgeräumt. Z.B. ist der Term rechts im Intervall $\begin{eqnarray*} \left]-2,0\right[ \end{eqnarray*}$ positiv - wenn er auch größer als 8 werden könnte, dann hätte das Einfluss auf die Lösung. Also muss sauber begründet werden, dass das nicht passieren kann.

Nochmal in Kurzfassung der andere Weg: Die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{(x+2)(x-1)} \leq x \end{eqnarray*}$

ist nach Subtraktion von $\begin{eqnarray*} \frac{8}{(x+2)(x-1)} \end{eqnarray*}$ und Bringen auf einen gemeinsamen Nenner äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x^3+x^2-2x-8}{(x+2)(x-1)} = \frac{(x-2)(x^2+3x+4)}{(x+2)(x-1)} \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt ist $\begin{eqnarray*} x^2+3x+4 = \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{7}{4}>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also bestimmen die drei Vorzeichenwechsel der linearen Terme an den Stellen -2, 1 und 2 das Vorzeichen des Gesamtbruches und führt direkt zur Lösung $\begin{eqnarray*} \left]-2,1\right[ \,\cup\, \left[2,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ .

Jetzt mag jeder selbst entscheiden, welche Lösung solider ist, und welche noch ihre Lücken hat.

Neue Frage »

Antworten »

ungleichung lösen

Verwandte Themen