Differenzierbarkeit

04.01.2012, 16:26

Cheftheoretiker

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Differenzierbarkeit

Hallo,

ich habe mir folgendes Problem ausgedacht und hoffe jemand kann mir helfen es zu lösen. Big Laugh

Big Laugh

Für welches $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\alpha} \end{eqnarray*}$ differenzierbar?

Mein Ansatz ist folgender,

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0 \atop{x<x_0}}~{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x \to x_0 \atop{x>x_0}}~{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Zuerst der linksseitige Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0 \atop{x<x_0}}~{\frac{x^{\alpha}-x_0^{\alpha}}{x-x_0}} \end{eqnarray*}$

Mein Gedanke ist nun der folgende das ich eine Fallunterscheidung machen müsste für $\begin{eqnarray*} \alpha=2k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha=2k+1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 16:44

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Naja, etwas unspektakulär, denn für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sollte da schon irgendetwas schiefgehen?

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0 \atop{x<x_0}}~{\frac{x^{\alpha}-x_0^{\alpha}}{x-x_0}} \end{eqnarray*}$

Mein Gedanke ist nun der folgende das ich eine Fallunterscheidung machen müsste für $\begin{eqnarray*} \alpha=2k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha=2k+1 \end{eqnarray*}$

Wieso? Was macht es denn für einen Unterschied, ob $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade ist? verwirrt

verwirrt

Na, jedenfalls sieht man bei dem Bruch ja, dass die Definitionslücke bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hebbar ist, $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist ja auch Nullstelle des Zählers. Also Polynomdivision und fertig. Was $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist, ist völlig egal.

Wirf dazu mal einen Blick auf die verallgemeinerte dritte binomische Formel.

Du weißt ja auch schon, wie man Monome ableitet, es ergibt sich immer $\begin{eqnarray*} \alpha x_0^{\alpha -1} \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 17:00

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Brauch ich für die Polynomdivision keine konkrete Nullstelle? verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 17:10

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Du kannst doch einfach den Zähler faktorisieren. Dazu habe ich dir den Link gegeben. Und dann kürzen.

04.01.2012, 17:15

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Jetzt habe ich es, einen Moment! smile

smile

04.01.2012, 17:17

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Wikipedia: Binom

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04.01.2012, 17:47

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0 \atop{x<x_0}}~{\frac{(x-x_0)\cdot\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}\cdot x_0^k}{x-x_0}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to x_0 \atop{x<x_0}}~{\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}\cdot x_0^k} \end{eqnarray*}$

so? verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 18:20

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Hä?

Die Summe ist falsch abgeschrieben worden, es ist doch

$\begin{eqnarray*} x^{\alpha} -x_0^{\alpha} = (x-x_0) \cdot \sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x^k x_0^{{\alpha}-1-k} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du kürzen. Und an dieser Stelle solltest du eben auch den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ durchführen, dann kannst du den Ausdruck in der Summe weiter vereinfachen.

04.01.2012, 18:34

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Puh, da habe ich mir aber auch was an's Bein gebunden... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0 \atop{x<x_0}}~{\frac{(x-x_0) \cdot \sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x^k x_0^{{\alpha}-1-k}}{x-x_0}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to x_0 \atop{x<x_0}}~{\cdot \sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x^k x_0^{{\alpha}-1-k}} \end{eqnarray*}$

Was soll ich denn nun machen? verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 18:40

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Hab ich doch schon gesagt:

Zitat:

Original von Mulder
Und an dieser Stelle solltest du eben auch den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ durchführen, dann kannst du den Ausdruck in der Summe weiter vereinfachen.

04.01.2012, 18:43

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Also,

$\begin{eqnarray*} ...=\sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x^k x_0^{{\alpha}-1-k}=\sum_{k=1}^{{\alpha}} x^{k+1} x_0^{{\alpha}-k} \end{eqnarray*}$

Ist meine Indexverschiebung korrekt? verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 18:51

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Was willst du da denn jetzt den Index verschieben? Das bringt doch gar nichts.

Und übrigens ist das auch falsch, wie du es gemacht hast. Wenn schon, dann

$\begin{eqnarray*} ...=\sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x^k x_0^{{\alpha}-1-k}=\sum_{k=1}^{{\alpha}} x^{k\color{red}-\color{black}1} x_0^{{\alpha}-k} \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt: Indexverschiebung ist hier überhaupt nicht sinnvoll. Ich hatte schon zwei Mal gesagt, dass du nun den Grenzübergang durchführen sollst. Im Klartext einfach einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x_0^k x_0^{{\alpha}-1-k} \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 19:01

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht wie ich weiter vorgehen muss. unglücklich

unglücklich

04.01.2012, 19:03

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Auch das hab ich schon gesagt: Den Ausdruck in der Summe vereinfachen.

Du brauchst doch bloß völlig elementare Potenzgesetze!

04.01.2012, 19:07

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x_0^k x_0^{{\alpha}-1-k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x_0^{\alpha-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber! smile

smile

04.01.2012, 19:09

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Weiter!

04.01.2012, 19:16

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
MIr fehlt ja noch das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} x_0^{\alpha-1} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 19:18

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Die Summe kannst du doch berechnen.

Vielleicht erstmal nicht auf das dir bereits bekannte Ergebnis schielen, sondern einfach mal drauf los rechnen. Diese Summe ist völlig simpel zu berechnen.

04.01.2012, 19:22

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Da habe ich erst dran gedacht aber es gibt ja garkein Laufindex k mehr... verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 19:24

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von hangman
Da habe ich erst dran gedacht aber es gibt ja garkein Laufindex k mehr...

Das macht es doch umso einfacher. Wie berechnet man solche Summen denn, wenn der Ausdruck in der Summe konstant ist, also gar nicht von k abhängt? Was ist zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^3 1 \end{eqnarray*}$

?

04.01.2012, 19:30

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Das ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Also ist die Summe von ... $\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x_0^{\alpha-1}=x_0^{\alpha-1} \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 19:43

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Nein, das ist nicht 1. Hmm... verwirrt

verwirrt

Vielleicht denkst du dir mal folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^3 1 = \sum_{k=1}^3 k^0 \end{eqnarray*}$

Denn k^0 ist ja immer 1. Das ist also dasselbe, vielleicht kannst du es ja so ausrechnen.

04.01.2012, 20:29

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} =1+1+1=3 \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 20:43

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Nun übertrag das auf die andere Reihe. Lass dir doch nicht alles aus der Nase ziehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.01.2012, 21:00

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Ja hm... ich weiß auch nicht was dort raus kommen soll. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{{\alpha}-1} x_0^{\alpha-1}= \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 21:13

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Hmm, du bist aber noch sehr unsicher bei diesen Summen. Dieses $\begin{eqnarray*} x_0^{\alpha-1} \end{eqnarray*}$ hängt nicht von k ab, kann also als konstanter Faktor vor die Summe geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} ... = x_0^{\alpha-1} \cdot \sum_{k=0}^{\alpha-1} 1 \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 21:20

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Ja und wie weit wird dann summiert? verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 21:28

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Genau so wie in dem Beispiel vorhin, das sollte jetzt eigentlich machbar sein.

04.01.2012, 21:34

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Naja, in dem Beispiel davor stand eine 3. Hier steht $\begin{eqnarray*} \alpha-1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 21:37

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Ja und? Du summierst nun halt nicht von 1 bis 3, sondern von 0 bis a-1.

04.01.2012, 21:39

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} ... = x_0^{\alpha-1} \cdot \sum_{k=0}^{\alpha-1} 1=1+1+1+... \end{eqnarray*}$

Ist das so gemeint?

04.01.2012, 21:40

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Natürlich ist das so gemeint.

Wieviele Summanden sind das denn nun insgesamt, wenn k von 0 bis a-1 laufen muss?

04.01.2012, 21:42

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Ja, $\begin{eqnarray*} \alpha-1 \end{eqnarray*}$ Summanden sind das. Big Laugh

Big Laugh

04.01.2012, 21:43

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Nein.

04.01.2012, 21:51

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Naja als logische Konsequenz muss es wohl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein da mir $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ noch fehlt. Warum das aber so ist weiß ich nicht... Forum Kloppe

Forum Kloppe

04.01.2012, 21:54

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Wenn k nun von 0 bis 2 laufen würde, nur mal so als Beispiel, dann hättest du drei Summanden: Für k=0, für k=1 und für k=2.

Würde k von 0 bis 5 laufen, hättest du sechs Summanden: k=0, k=1, k=2, k=3, k=4, und k=5.

Das ist doch jetzt bloß Zählen!

04.01.2012, 21:59

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Wenn dort eine konkrete Zahl steht ist das ja auch einleuchtend.

Also ist die Summe $\begin{eqnarray*} \alpha x_0^{\alpha-1} \end{eqnarray*}$ ?

Dann müsste ich noch den rechtsseitigen Grenzwert mit der gleichen Prozedur zeigen?

04.01.2012, 22:14

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Bei x^k an der Stelle x0 stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert doch überein, x^k ist für natürliche k doch überall stetig. Was willst du da noch großartig machen? Hast du in deinen bisherigen Rechnungen denn irgendwo berücksichtigt, dass du eigentlich bisher nur den linksseitigen Grenzwert betrachten wolltest? Hat sich das irgendwo ausgewirkt? Wie würde sich die Rechnung denn verändern, wenn du jetzt rechtsseitig an die Sache rangehst?

Du bist fertig.

04.01.2012, 22:23

Cheftheoretiker

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RE: Differenzierbarkeit
Das wäre genau das selbe. Big Laugh

Big Laugh

Aber ich dachte um das zu zeigen müssen beide Fälle erfüllt sein. verwirrt

verwirrt

04.01.2012, 22:34

Mulder

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RE: Differenzierbarkeit
Sie SIND doch auch beide erfüllt. Die Begründung dafür habe ich schon genannt. Du musst doch jetzt nicht jedes Mal das Rad neu erfinden.

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