Konvergenz der Folge (1 +1/n)n²

04.01.2012, 16:52

firedream

Konvergenz der Folge (1 +1/n)n²

Meine Frage:
Konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n} )^{n^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich dachte ich kann vielleicht so vorgehen: $\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } (1 + \frac{1}{n} )^{n^{2} } = \lim_{n \to \infty } ((1 + \frac{1}{n} )^n)^{n} = \lim_{n \to \infty } e^n = \infty \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 17:20

tmo

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Die Idee ist richtig, aber wie von dir beschreiben kannst du nicht formal vorgehen.

Mache dir $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \end{eqnarray*}$ zunutze, indem du (evtl. für hinreichend große n) abschätzt:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n > 2 \end{eqnarray*}$ , also ist deine Folge insgesamt größer als...

Aber eigentlich ist das schon zu viel des Guten, die bernoullische Ungleichung führt auch schon sofort zum Ziel.

06.01.2012, 14:46

firedream

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Dann hätte ich eine untere Schranke und müsste zeigen, dass die Folge monoton fällt?
Aber wie zeige ich, dass Sie fällt?

06.01.2012, 15:08

René Gruber

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Du solltest besser mal den angefangenen Satz

Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n > 2 \end{eqnarray*}$ , also ist deine Folge insgesamt größer als...

beenden.

06.01.2012, 15:47

firedream

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Ich bin vermutlich zu dumm, aber leider sehe ich nicht ganz was mir das bringt .... (????)

06.01.2012, 15:49

René Gruber

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zu faul oder zu stolz um den Satz zu beenden?
... also ist $\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} > 2^n \end{eqnarray*}$ .

06.01.2012, 15:55

firedream

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soweit klar. Aber was bringt mir das nun bezüglich der Konvergenz der Folge?

PS: danke, dass du mich als zu faul bezeichnest. Leider bin ich einfach nur eine Mathe Niete. Wäre ich zu faul, dann würde ich mich garnicht erst mit dem thema beschäftigen und 100% würde man hier keinen Eintrag von mir lesen.

06.01.2012, 16:06

René Gruber

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Zitat:

Original von firedream
PS: danke, dass du mich als zu faul bezeichnest

Eine Frage ist keine Bezeichnung. Außerdem hat dein "soweit klar" die Sache ja nun geklärt.

Zum Thema: Wenn die Folge größer als $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bekanntlich gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ divergiert, dann bringt das schon was.

06.01.2012, 16:06

Gast11022013

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Wenn Du weißt, daß

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}>2^{n} \end{eqnarray*}$ gilt,

dann betrachte doch jetzt mal die rechte Ungleichungsseite, wenn $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Edit: Entschuldigung, ich wollt' mich nicht einmischen und es wiederholen. Ich war zu langsam.

06.01.2012, 16:10

René Gruber

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Kein Grund zur Entschuldigung: Wenn ich hier als "Geist" unterwegs bin, kannst du ja nicht wissen, dass ich da bin. Augenzwinkern

06.01.2012, 16:12

firedream

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danke, das hat meine Frage beantwortet.

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