Momente berechnen

04.01.2012, 17:58

Gastilein

Momente berechnen

Hallo,

man habe eine Zufallsvariable Z^2, wobei Z N(0,1) verteilt sei. Nun möchte ich von Z^2 den Erwartungswert und die Varianz berechnen. Jedoch sind die Integrale, die dabei auftreten recht unschön. Deswegen wollte ich fragen, ob es da mit stochastischen Mitteln einen Trick gibt, um die Momente einfacher zu bestimmen.

Viele Grüße

04.01.2012, 19:32

Black

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Du könntest entweder über die Momentenerzeugende-Funktion von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ gehen, oder du schaust dir direkt $\begin{eqnarray*} Z^2 \sim \chi^2 (1) \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 19:59

Gastilein

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Hallo,

was meinst du mit Momentenerzeugende-Funktion? Über $\begin{eqnarray*} Z^2 \sim \chi^2 (1) \end{eqnarray*}$ kann ich nicht gehen, da ich die Verteilung von Chi(n) bestimmen möchte.

04.01.2012, 20:17

Black

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Zitat:

Original von Gastilein

was meinst du mit Momentenerzeugende-Funktion?

Die Momenterzeugende-Funktion einer ZV X ist (im eindimensionalen Fall) definiert als $\begin{eqnarray*} \Psi(\lambda):=E(exp(\lambda X)) \end{eqnarray*}$
Es gilt dann $\begin{eqnarray*} E(X^k)=\frac{d^k}{d\lambda^k} \Psi(\lambda) |_{\lambda=0} \end{eqnarray*}$

Wenn ihr das aber nicht behandelt habt ist es auch nicht sinnvoll das hier zu verwenden

Zitat:

Über $\begin{eqnarray*} Z^2 \sim \chi^2 (1) \end{eqnarray*}$ kann ich nicht gehen, da ich die Verteilung von Chi(n) bestimmen möchte.

Was meinst du damit? Die Verteilung von $\begin{eqnarray*} \chi^2(n) \end{eqnarray*}$ ist doch bekannt, und oben hast du gesagt du brachst nur Erwartungswert und Varianz?

04.01.2012, 20:30

Gastilein

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Ich soll den Zentralen Grenzwertsatz auf eine x^2(n) Verteilung anwenden. Und dazu benötige ich den Erwartungswert und die Varianz dieser Verteilung. Diese soll ich deshalb noch berechnen. Dafür wollte ich über die Definition der Verteilung gehen.

04.01.2012, 20:38

Black

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Wenn ihr Momenterzeugende-Funktionen nicht behandelt habt und auch sonst in der Vorlesung keine Aussage über Erwartungswert/Varianz einer Chi-Quadrat-verteilten ZV gemacht habt, bleibt dir wohl nichts anderes übrig als die Momente per Integration zu bestimmen.
Das sollte aber eigentlich auch nicht allzu aufwändig sein.
Die Dichte der $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ Verteilung ist dir bekannt?

04.01.2012, 21:06

Gastilein

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Zu der Dichte müsste ich nachsehen. Kann aber auch sein, dass wir nur die Definition hatten, dass die X^2(n) Verteilung wie folgt erzeugt wird: X1^2+...+Xn^2, wobei die Xi standardnormalverteilt sind und unabhängig sind.

Deshalb wollte ich den Erwartungswert und die Varianz von einem Xi^2 berechnen (für den zentralen Grenzwertsatz).

Also die folgenden Integrale:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty \! x^2 \cdot e^{-\frac {x^2} 2} \, dx \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \! x^4 \cdot e^{-\frac {x^2} 2} \, dx \end{eqnarray*}$

Sind die überhaupt elementar lösbar?

04.01.2012, 21:20

Black

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Doch die Integrale kann man schon berechnen, wenn man benutzt dass $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2 \Pi} \end{eqnarray*}$ ist.

Das erste Integral kannst du dir aber im Prinzip komplett sparen, du weißt ja dass $\begin{eqnarray*} Z \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} Var(Z)=1 \end{eqnarray*}$ .
Über die Verschiebungsformel hast du dann auch schon direkt $\begin{eqnarray*} E(Z^2) \end{eqnarray*}$

04.01.2012, 21:27

Gastilein

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Danke du hast recht. Das erste Integral erübrigt sich damit. Wie geht man beim zweiten vor? Ich würde partielle Integration vorschlagen. Führt das hier zum Ziel?

04.01.2012, 21:30

Black

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Ja, partielle Integration funktioniert, allerdings muss man sich die 2 Funktionen geschickt wählen

04.01.2012, 21:45

Gastilein

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Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe.

Für die partielle Integration habe ich gewählt: u=x^3 und v'=x*e^(-x^2/2)

Daraus folgt nach zweimaliger partieller Integration, nach dem selben Schema:

I=3. Kann das stimmen?

04.01.2012, 21:48

Black

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Doch, das stimmt alles Freude

04.01.2012, 21:49

Gastilein

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Ok. Vielen Dank für deine Hilfe. Schönen Abend noch.

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