Matrix / Gleichungssystem homogen oder inhomogen ?

04.01.2012, 18:13

Gast200

Matrix / Gleichungssystem homogen oder inhomogen ?

Hallo,

ich soll untersuchen ob das Gleichungssystem lösbar ist und alle Lösungen angeben die existieren.

Versteh aber gerade nicht warum dieses Gleichungssystem homogen sein soll:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+4x_2+3x_3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x_1-6x_2-2x_3=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5x_1+8x_2+2x_3=4 \end{eqnarray*}$

Ich dachte, wenn die rechte Seite ungleich 0 ist so folgt das wir ein inhomogenes Gleichungssystem haben.

04.01.2012, 18:53

Cel

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Dieses LGS ist inhomogen. Es gibt aber eine Regel, die den Rang der Koeffizientenmatrix A und die der erweiterten Matrix (A|b) in Beziehung stellt. Meinst du so etwas?

04.01.2012, 19:23

Gast200

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04.01.2012, 19:38

Gast200

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Wie muss ich vorgehen ?

In meinem Buch steht:

Ein lineares (m,n) System Ax=c ist dann und nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|c) übereinstimmt:

Rg(A)=Rg(A|c)=r

$\begin{eqnarray*} (r\leq m ;r\leq n) \end{eqnarray*}$

Der Rang der Koeffizientenmatrix A müsste 3 sein.

Aber wie rechne ich den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|c) aus verwirrt

Edit (Cel): LaTeX verbessert.

04.01.2012, 20:20

Gast200

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Hab die erweiterte Koeffizientenmatrix einfach mal so berechnet keine Ahnung ob das stimmt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 3 & -6 & -2 & -2 \\ -5 & 8 & 2 &4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Herraus kam das:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 8 & 4 & 2 \\ 0 & -10 & 13 & -4 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also auch Rang 3.

Es müsste also lösbar sein.

Jetzt die Frage wie kommt man auf die Lösung:

homogenes LGS: $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$

Komme nicht auf das Ergebnis unglücklich

04.01.2012, 23:17

Gast200

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Niemand eine Idee ?

05.01.2012, 00:32

Gast200

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Ich habe gerade bemerkt dass ich nur die halbe Aufgabe gepostet habe. unglücklich

Vielleicht könnt ihr jetzt mehr mit der Aufgabe anfangen und mir sagen wie man auf diese Lösung kommt:
homogenes LGS: $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$

Untersuche die Lösbarkeit des folgenden linearen Gleichungssystems und gebe alle Lösungen an, die existieren:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+4x_2+3x_3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x_1-6x_2-2x_3=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5x_1+8x_2+2x_3=4 \end{eqnarray*}$

Untersuche jetzt das zugehörige homogene Gleichungssystem auf seine Lösungsmenge.

05.01.2012, 11:48

Cel

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Zitat:

Original von Gast200
Hab die erweiterte Koeffizientenmatrix einfach mal so berechnet keine Ahnung ob das stimmt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 3 & -6 & -2 & -2 \\ -5 & 8 & 2 &4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Herraus kam das:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 8 & 4 & 2 \\ 0 & -10 & 13 & -4 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, das ist die erweiterte Koeffizientenmatrix, ja. Aber du sollst zunächst das homogene LGS lösen, das heißt, rechts müssen zu Beginn überall Nullen stehen. Was kommt denn dann nach dem Gaußalgorithmus heraus?

06.01.2012, 04:17

Gast200

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 & 0 \\ 3 & -6 & -2 &0 \\ -5& 8 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In Dreiecksform gebracht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 30 & 60 & 45 & 0 \\ 0 & -4320 & -2340 &0 \\ 0& 0 & -60 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nach x1,x2,x3 aufgelöst.

$\begin{eqnarray*} 30x_1+60x_2+45x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4320x_2-2340x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -60x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt meine Vorgehensweise ?

06.01.2012, 06:54

Dopap

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schon richtig so.
Nur in Realität zuerst das homogene und dann das inhomogene LGS zu lösen ist doppelte Arbeit.
Deine erste Reduktion der erweiterten Matrix war schon ausreichend.
Das homogene LGS stellt man sich einfach vor, indem man sich in der letzten Spalte Nullen denkt.

06.01.2012, 16:47

Gast200

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Danke für eure Hilfe smile

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