Konvergenz von Reihen

04.01.2012, 19:40

Florinu

Konvergenz von Reihen

Vorab, mir geht es NUR ledeglich nur um den folgenden Rechenschritt. Die Lösungen stehen auf dem Lösungszettel und sind auch klar, nur die folgenden Rechenschritte sind mir noch iwie schleierhaft.
Aufgabe:

Zitat:

Gegeben, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2} } = \frac{\pi ^{2} }{6} \end{eqnarray*}$ , berechnen Sie den Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^{2} } und \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} }{n^{2} } \end{eqnarray*}$

Da ich ja Lösungen wie erwähnt habe, ist das Ergebnis schon vorhanden:

zu i)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^{2} } = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2} }-\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^{2} } \end{eqnarray*}$

zu ii)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} }{n^{2} } = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^{2} }-\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^{2} } \end{eqnarray*}$

(Nochmal, weitere Umformungen sind nun trivial und für die es interessiert, Ergebnisse sind $\begin{eqnarray*} \frac{\pi ^{2}}{8} und \frac{\pi ^{2}}{12} \end{eqnarray*}$ )

Diese beiden Gleichheitszeichen sind mir vollkommen schleierhaft...
Klar sieht man, dass versucht wird die Hilfe der Aufgabenstellung zu nutzen, was auch gelingt, da immer 1/n^2 entsteht aber woher auf einmal Big Laugh

?
Hab im meinem Skript zumindest nichts gefunden und auch probiert ob man es durch einfach gleichsetzen bekommt, kam aber nichts raus.
Hab zuerst überlegt ob es vllt mit der Anordung zu tun hat, half mir aber auch nicht weiter^^
Vielleicht gibt es ja einfach eine Rechenregel die ich übersehen habe?
Und nebenbei hat es bei i) einen Grund, warum auf einmal k bei der zweiten Summe genutzt wird? Hätte man nicht gleich n schreiben können? Denn in der Lösung wird er erst Schritt für Schritt zu n gemacht (vllt wollte man einfach Summen damit klar unterscheiden?)

MfG
Florian

04.01.2012, 21:50

juffo-wup

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zu i): Die Summe der Kehrwerte der Quadrate aller natürlicher Zahlen kann wegen der absoluten Konvergenz geschrieben werden als die Summe von erstens der Summe der Kehrwerte der Quadrate aller geraden Zahlen und zweitens der Summe der Kehrwerte der Quadrate aller ungeraden Zahlen.

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