Frage zu Binominalverteilung

04.01.2012, 22:07

StatiNoob

Frage zu Binominalverteilung

Hi zusamen,

ich habe folgende Aufgabe:

Ein Produzent liefert regelmäßig Kugelschreiber. Der Produzent garantiert, dass maximal einer von 100 gelieferten Kugelschreibern fehlerhaft ist. Bei einer signifikant höheren Ausschussquote wird ein Preisnachlass von 10% gewährt.

Eine Lieferung von 1.800 Kugelschreibern weist 30 fehlerhafte Kugelschreiber auf.

Fehler erster Art (alpha) = 0,10

Zu der Aufgabe hab ich folgende Fragen:

1. Frage:

Also Nullhypothese h0 = p <= 0,01

Vom Gefühl her würd ich sagen dass die Hypothese falsch ist, da ja 30/1800 * 100 = 1,67 % ist.
Aber was mache ich hier mit den Fehler erster Art? Kann ich die Hypothese auch prüfen wenn ich nicht die Normalverteilung verwende??

2. Frage:
Es handelt sich doch um eine Binominalverteilung, die an die Standardnormalverteilung apporximiert werden kann, oder?

Wie funktioniert hier die approximation?

Ich muss zuerst n und p rausfinden:

n = 1800
P = 0,01

$\begin{eqnarray*} N(1800*0,01 ; \sqrt{1800*0,01*(1-0,01)} \end{eqnarray*}$

und dann in der Wahrscheinlichkeitstabelle den Wert z für 0,90 suchen (da Alpha = 0,10 ist):
z ist ca. 1,285

also:
$\begin{eqnarray*} 1800*0,01 + 1,285 * \sqrt{1800*0,01*(1-0,01)} = 23,42 \end{eqnarray*}$

==> Es dürfen maximal 23,42 Kugelschreiber defekt sein
==> Nullhyptohtese ist abzulehnen, Rabatt muss gewährt werden

Stimmt das alles so? :-)

Danke!!

04.01.2012, 22:20

Black

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RE: Frage zu Binominalverteilung

Zitat:

Original von StatiNoob
1. Frage:

Also Nullhypothese h0 = p <= 0,01

Vom Gefühl her würd ich sagen dass die Hypothese falsch ist, da ja 30/1800 * 100 = 1,67 % ist.
Aber was mache ich hier mit den Fehler erster Art? Kann ich die Hypothese auch prüfen wenn ich nicht die Normalverteilung verwende??

Nein, um zu beantworten ob 30/1800 signifikant größer ist als 1% musst du schon einen Test zum Niveau $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ machen wie du ihn bei 2.) ja auch gemacht hast.
Ansonsten hast du alles richtig gerechnet Freude

04.01.2012, 22:40

StatiNoob

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Hi!

Danke!

Den Test zum Niveau alpha kann ich dann aber nur bei der Normalverteilung machen, oder wie?

Kann ich die Nullhypothese dann nur prüfen wenn ich die Binominalverteilung in eine Normalverteilung approximiere?

Ich hab hier mehr oder weniger getippt dass es eine Binominalverteilung ist. Woher weiß ich das denn sicher?
Ich hab eigentlich als Kennzeichen gelernt, dass es sich um das Modell MIT ZURÜCKLEGEN handelt, aber anscheinend stimmt das hier nicht?

Danke!

Gruß

05.01.2012, 01:17

Black

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Zitat:

Original von StatiNoob
Hi!

Danke!

Den Test zum Niveau alpha kann ich dann aber nur bei der Normalverteilung machen, oder wie?

Nein, für jeden Test den man durchführt braucht man ein Testniveau alpha.

Zitat:

Kann ich die Nullhypothese dann nur prüfen wenn ich die Binominalverteilung in eine Normalverteilung approximiere?

Man könnte auch einen exakten Binomialtest durchführen, bei einem so großen Stichprobenumfang bekommt man aber bei der Approximation mit der Normalverteilung quasi das Gleiche Ergebnis

Zitat:

Ich hab hier mehr oder weniger getippt dass es eine Binominalverteilung ist. Woher weiß ich das denn sicher?
Ich hab eigentlich als Kennzeichen gelernt, dass es sich um das Modell MIT ZURÜCKLEGEN handelt, aber anscheinend stimmt das hier nicht?

Streng genommen haben wir hier auch keine Binomialverteilung vorliegen.
Wenn man Stichproben zieht, geht man im Prinzip immer davon aus dass die Grundgesamtheit aus der man die Stichproben zieht, wesentlich größer ist als der Stichprobenumfang.
Denn wenn die Grundgesamtheit groß genug ist, macht es quasi keinen Unterschied ob man mit oder ohne zurücklegen zieht.
Zur Vereinfachung rechnet man daher meistens einfach so, als ob mit zurücklegen gezogen würde.

05.01.2012, 10:40

StatiNoob

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Hi!

Danke für die ausführliche Antwort!

Wie Teste ich dann die Nullhypothese bei der Binominalverteilung?

Angenommen:

n = 4, p =0,3 x = 3

Wie prüfe ich dann hier die Nullhypothese und was mache ich mit Alpha? Wir haben so etwas noch nicht gemacht, nur z.B. wie Wahrscheinlich ist es, dass 4 aus 7 Leuten gleichzeiig ein Auto benötigen.

Danke!

Viele Grüße

06.01.2012, 21:29

StatiNoob

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Hallo!

Jetzt muss ich noch mal zu der Aufgabe von gestern nachfragen, ob ich da alles richtig gerechent habe:

In meinen Unterlagen hab ich nämlich heute folgendes endtdeckt:

Für einen PKW - gibt der Hersteller einen Durchschnittsverbrauch von 7,0l / 100 km bei einer Standardabweichung von 0,6 l an. Ein Test ergab bei 50 getesteten Autos einen Durchschnittsverbrauch von 7,2 l an.

Hinweis: Die Werte nähern sich einer Normalverteilung an.

Ich hätte jetzt dann für die Normalverteilung N(7,2 ; 0,6) eingesetzt. In der Lösung wird aber $\begin{eqnarray*} N(7,2 ; 0,6* \sqrt{50} \end{eqnarray*}$ verwendet.

Warum wird denn hier nicht enfach 0,6 eingesetzt? Welche "Regel" wird hier angewandt?

Danke!

06.01.2012, 21:34

StatiNoob

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Sorry, ich meinte

$\begin{eqnarray*} N(7,2 ; 0,6/ \sqrt{50}) \end{eqnarray*}$

06.01.2012, 22:20

Black

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Beachte dass man sich hier den Durchschnittswert anschaut.
Also $\begin{eqnarray*} \overline X=\frac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} X_i \end{eqnarray*}$ .
Die einzelnen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sind alle $\begin{eqnarray*} N(7.2,0.6) \end{eqnarray*}$ verteilt, aber $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} N(7.2, 0.6/\sqrt{50}) \end{eqnarray*}$ verteilt

Das kannst du leicht sehen, wenn du mal
$\begin{eqnarray*} Var(\overline X)= Var (\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} X_i)=\sum_{i=1}^{50} Var(\frac{1}{50} X_i)=\sum_{i=1}^{50} (\frac{1}{50})^2 Var(X_i)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{50})^2 \sum_{i=1}^{50} Var(X_i)=(\frac{1}{50})^2 \cdot 50 \cdot 0.6^2=\frac{1}{50} \cdot 0.6^2 \end{eqnarray*}$

edit: Zeilenumbruch zur besseren Lesbarkeit eingefügt.
LG sulo

07.01.2012, 11:35

StatiNoob

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Hi!

Die Umformung der Formel hab ich zwar jetzt verstanden, aber irgendwie komm ich mit den Aufgaben nicht klar:

Ein Test wurde für mehrere Hunder Studenten durchgeführt. Es konnten zwischen 0 und 100 Punkten erreicht werden. Es zeigte sich annähernd eine Normalverteilung für die Variable „Punkte“: Mittelwert gleich 80, Standardabweichung gleich 10.

Sind dann hier die einzelnen Sportler auch N(80 ; 10) verteilt? Warum muss ich dann hier nicht $\begin{eqnarray*} N (80 ; 10 / \sqrt{n} ) \end{eqnarray*}$ rechnen?

Ich kann das zwar im Rahmen dieser Aufgabe nicht ermitteln, weil ich kein n gegeben habe, aber was wäre wenn n = 400 gegeben wäre??

Muss ich dann das mit der Wurzel nur verwenden, wenn ich den Mittelwert der Stichprobe mit dem Mittelwert der Grundgesamtheitvergleichen möchte?

Je mehr ich nachlese umso verwirrter werde ich... geschockt

Danke!

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