(Gleichmäßige) Stetigkeit auf Intervallen von vier einfachen Funktionen

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KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »
(Gleichmäßige) Stetigkeit auf Intervallen von vier einfachen Funktionen
Ich habe mich in der Nachweihnachtszeit ein wenig mit (gleichmäßiger) Stetigkeit auseinander gesetzt und habe nun folgende Aufgabe bearbeitet / versucht zu bearbeiten, bitte bedenken, dass das eine der ersten bzw. ehrlich gesagt eher die erste Aufgaben dieser Art für mich ist Augenzwinkern Umso genialer wäre es, wenn sich jemand erbarmen würde, mir zu helfen Freude

Die Funktionen 1) bis 4) sollen auf dem Intervall I auf Stetigkeit überprüft werden, zusätzlich soll man angeben, welche der Funktionen sogar gleichmäßig stetig sind. Natürlich soll das Ganze hinreichend begründet werden (was auch immer "hinreichend begründen" im Detail bedeutet...).

1) auf
2) auf für
3) auf I = IR.
4) auf
(log sei der natürliche Logarithmus)

Meine Lösungsvorschläge - bedürfen v.a. der Verifikation, aber an manchen Stellen auch noch einigen Tipps oder auch heftigen Korrekturen:

zu 1) Würde ich auf I gleichmäßige Stetigkeit feststellen, weil die Funktion in Zähler und Nenner jeweils gleichmäßig stetig sind (per Definition mit zu zeigen) und somit mit den üblichen Rechenregeln ist auch f auf dem Intervall zumindest stetig. Wichtige Frage: Kann ich diese "Rechenregeln", die man meist nur zu Stetigkeit in einem Punkt findet, auf gleichmäßige Stetigkeit übertragen? D.h. sind die Summe / Differenz / Produkt / Verkettung zweier gleichmäßig stetiger Funktionen auch wieder gleichmäßig stetig? Weil eigentlich dachte ich, dass das nicht geht, sonst könnte ich ja x² als x*x schreiben, was das Produkt zweier gleichmäßig stetiger Funktionen wäre... Nur, wie beweise ich dann gleichmäßige Stetigkeit bei dieser (sehr einfachen) Funktion? Direkt mit der Definition, dem gesamten Bruch und etwas Umformen?

zu 2) Ist für k = 1 und k = 0 mit l aus {-1,0,1} auf jeden Fall auf I stetig als Produkt bzw. Quotient zweier auf I stetiger Funktionen (Annahme: Stetigkeit der e-Funktion wurde an anderer Stelle schon gezeigt). Für k = -1 ist f auf I nicht stetig, da sie in x = 0 nicht stetig ist (kann ich letzteres noch irgendwie besser begründen? Oder folgt Unstetigkeit an einer Definitionslücke direkt aus der Definition, weil an der Stelle ja kein Funktionswert existiert?).
Für k aus {0, 1} und l = 0 ist f überdies gleichmäßig stetig, da dann f(x) = x (k = 1), f(x) = 1 (k=0), welche beide gleichmäßig stetig sind.
Nur, wie zeige ich nun gleichmäßige Stetigkeit für l = 1 und k aus {0, 1}, denn da ist f ja auch gleichmäßig stetig auf I, oder etwa nicht?

zu 3) f(x) = sin x ist stetig auf I = IR, da an anderer Stelle gezeigt wurde, dass stetig ist und somit nach einer bereits gezeigten Rechenregel auch stetig ist auf I = IR. Damit ist f auch gleichmäßig stetig, da f' (cos x) beschränkt ist. (Gibt es für die Begründung der gleichmäßigen Stetigkeit noch einen schöneren Weg, der sich weder auf die Differentiation noch auf die Additionstheoreme bezieht? Beide waren nämlich bisher eigentlich noch kein Stoff...)

zu 4) f(x) = log x ist stetig auf I, da es sich um die Umkehrfunktion der monoton wachsenden, stetigen (bereits zuvor gezeigt) Exponentialfunktion handelt, dann ist nach einer ebenfalls bereits gezeigten Rechenregel auch f auf I stetig. f ist auf I aber nicht gleichmäßig stetig (mit und der Definition zu zeigen).
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Gleichmäßige) Stetigkeit auf Intervallen von vier einfachen Funktionen
Hallo! Wink

Zitat:
Original von KnowingLizard
zu 1) Würde ich auf I gleichmäßige Stetigkeit feststellen, weil die Funktion in Zähler und Nenner jeweils gleichmäßig stetig sind (per Definition mit zu zeigen) und somit mit den üblichen Rechenregeln ist auch f auf dem Intervall zumindest stetig.

So folgt die Stetigkeit, ja.

Zitat:
Wichtige Frage: Kann ich diese "Rechenregeln", die man meist nur zu Stetigkeit in einem Punkt findet, auf gleichmäßige Stetigkeit übertragen? D.h. sind die Summe / Differenz / Produkt / Verkettung zweier gleichmäßig stetiger Funktionen auch wieder gleichmäßig stetig? Weil eigentlich dachte ich, dass das nicht geht, sonst könnte ich ja x² als x*x schreiben, was das Produkt zweier gleichmäßig stetiger Funktionen wäre...

Da dachtest du richtig, solche Regeln gibt es nicht für glm. Stetigkeit.

Zitat:
Nur, wie beweise ich dann gleichmäßige Stetigkeit bei dieser (sehr einfachen) Funktion? Direkt mit der Definition, dem gesamten Bruch und etwas Umformen?

Es gibt einen Satz, dass eine auf einem kompakten Intervall [a,b] definierte, stetige Funktion auch immer glm. stetig ist. Diesen Satz hattet ihr sicher in der Vorlesung und kann hier bequem verwendet werden.

Zitat:
zu 2) Ist für k = 1 und k = 0 mit l aus {-1,0,1} auf jeden Fall auf I stetig als Produkt bzw. Quotient zweier auf I stetiger Funktionen (Annahme: Stetigkeit der e-Funktion wurde an anderer Stelle schon gezeigt).

Ja.

Zitat:
Für k = -1 ist f auf I nicht stetig, da sie in x = 0 nicht stetig ist (kann ich letzteres noch irgendwie besser begründen? Oder folgt Unstetigkeit an einer Definitionslücke direkt aus der Definition, weil an der Stelle ja kein Funktionswert existiert?).

Wenn die Funktion in 0 nicht definiert ist, ist die Frage nach Stetigkeit dort garnicht stellbar. Für k=-1 müsste der Definitionsbereich auf das offene Intervall eingeschränkt werden.
Zitat:
Für k aus {0, 1} und l = 0 ist f überdies gleichmäßig stetig, da dann f(x) = x (k = 1), f(x) = 1 (k=0), welche beide gleichmäßig stetig sind.

Ja.
Zitat:
Nur, wie zeige ich nun gleichmäßige Stetigkeit für l = 1 und k aus {0, 1}, denn da ist f ja auch gleichmäßig stetig auf I, oder etwa nicht?

Mit Hilfe der Ableitung (die ist beschränkt) ginge das am schnellsten. "Zu Fuß" (unter Nutzung elementarerer Eigenschaften) kommt man aber auch weiter: Schreibe (für k=0) und benutze die Ungleichung Für k=1 funktioniert im Wesentlichen der gleiche Ansatz.

Zitat:

zu 3) f(x) = sin x ist stetig auf I = IR, da an anderer Stelle gezeigt wurde, dass stetig ist und somit nach einer bereits gezeigten Rechenregel auch stetig ist auf I = IR. Damit ist f auch gleichmäßig stetig, da f' (cos x) beschränkt ist. (Gibt es für die Begründung der gleichmäßigen Stetigkeit noch einen schöneren Weg, der sich weder auf die Differentiation noch auf die Additionstheoreme bezieht? Beide waren nämlich bisher eigentlich noch kein Stoff...)

Mache dir klar, dass man wegen der Periodizität nur glm. Stetigkeit auf dem Intervall testen muss. Dann benutze einfach den oben erwähnten Satz.

Zitat:
zu 4) f(x) = log x ist stetig auf I, da es sich um die Umkehrfunktion der monoton wachsenden, stetigen (bereits zuvor gezeigt) Exponentialfunktion handelt, dann ist nach einer ebenfalls bereits gezeigten Rechenregel auch f auf I stetig. f ist auf I aber nicht gleichmäßig stetig (mit und der Definition zu zeigen).

Nichts zu ergänzen. smile
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Gleichmäßige) Stetigkeit auf Intervallen von vier einfachen Funktionen
Okay, vielen, vielen Dank schonmal, dann lag ich ja gar nicht so stark daneben Freude

Zitat:
Original von juffo-wup
Es gibt einen Satz, dass eine auf einem kompakten Intervall [a,b] definierte, stetige Funktion auch immer glm. stetig ist. Diesen Satz hattet ihr sicher in der Vorlesung und kann hier bequem verwendet werden.


D.h. ich kann dann einfach sagen, dass die Funktion auf dem Intervall [1; 5] gleichmäßig stetig ist (da letzteres ja ein kompaktes Intevall ist), und somit auch auf dem Intervall [1; 5), was ja eine Teilmenge des obigen Intervalls ist? Wenn ja, wäre das ja echt simpel smile

Zitat:
Original von juffo-wup
Wenn die Funktion in 0 nicht definiert ist, ist die Frage nach Stetigkeit dort garnicht stellbar. Für k=-1 müsste der Definitionsbereich auf das offene Intervall eingeschränkt werden.


Würde dann von mir in der Aufgabe verlangt, dass ich dann I selbständig soweit einschränke und Stetigkeit in dem Bereich abprüfe? Weil I ja im Prinzip generell gegeben ist...
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Gleichmäßige) Stetigkeit auf Intervallen von vier einfachen Funktionen
Zitat:
Original von KnowingLizard
D.h. ich kann dann einfach sagen, dass die Funktion auf dem Intervall [1; 5] gleichmäßig stetig ist (da letzteres ja ein kompaktes Intevall ist), und somit auch auf dem Intervall [1; 5), was ja eine Teilmenge des obigen Intervalls ist? Wenn ja, wäre das ja echt simpel smile

Ja. Probleme würde es nur geben, wenn die Funktion nicht auf [1,5] stetig fortsetzbar wäre. Aber der einzige Pol ist ja bei -1.

Zitat:
Würde dann von mir in der Aufgabe verlangt, dass ich dann I selbständig soweit einschränke und Stetigkeit in dem Bereich abprüfe? Weil I ja im Prinzip generell gegeben ist...

Ich weiß nicht, ob die Aufgabe so gedacht war. Aber wenn der Definitionsbereich wirklich sein soll, dann kann k eben nicht -1 sein.
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Gleichmäßige) Stetigkeit auf Intervallen von vier einfachen Funktionen
Zitat:
Original von juffo-wup
"Zu Fuß" (unter Nutzung elementarerer Eigenschaften) kommt man aber auch weiter: Schreibe (für k=0) und benutze die Ungleichung Für k=1 funktioniert im Wesentlichen der gleiche Ansatz.


Inwiefern hilft mir da die Ungleichung weiter? Im Endeffekt will ich meinen Term ja nach oben abschätzen, nicht nach unten, wenn ich jetzt aber z.B. e^(x-y) oder e^(-x) mit der von dir gegebenen Ungleichung ersetze, dann schätze ich das ganze ja nach unten ab, oder nicht? Dann hilft es mir ja nichts, am Ende dann noch "< Epsilon" schreiben zu können, oder?
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Das, was da unten steht ist Blödsinn, bitte nicht beachten...

Zitat:

EDIT: falsch:
Habe mal ein wenig mit Zettel und Stift herumprobiert, und zwar unter Nutzung der leicht abgewandelten Ungleichung habe ich zumindest jetzt mal etwas hingeschrieben für k = l = 1:
für (Wie kann ich die beweisen?)

Sei oBdA y >= x, dann

(für )

Aber im ursprünglichen Fall mit k=0 und l=1 komme ich immer noch nicht weiter... unglücklich
 
 
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn 0<x<y, dann ist ja
Und da ist
Insgesamt
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, dankeschön, das geht ja wirklich schön einfach. Ich probiere allerdings nun schon den Nachmittag über, auf ähnlichem / gleichem Weg bei k = 1, l = 1 auf einen grünen Zweig zu kommen, d.h. bei
,
aber ich schaffe es nie, das dann so abzuschätzten, dass dann noch <= |x-y| dransteht... Könntest du mir da bitte nochmal weiterhelfen? verwirrt
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch nochmal einige Versuche unternommen, hier mal einer, der mir recht vielversprechend gewirkt hat (sorry für den Doppelpost, aber man kann ja immer sehr früh nicht mehr editieren leider...), wobei man dafür erkennen müsste, dass der Term am Anfang in den Betragsstrichen größer als null ist, ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so ohne weiteres als erkennbar annehmen kann oder wie man das halbwegs gut zeigen könnte, die erste Abschätzung würde dann gelten, weil ich y durch etwas kleineres ersetze, also weniger abziehe, wodurch der Ausdruck größer werden würde:

(Sei 0<x<y)



(Mit deiner Gleichung von oben und x/(e^x)<1, was denke ich offensichtlich ist, oder? Also für x>=0)
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Jetzt fehlt nur noch der Beweis des Teils
Dafür kann wieder die gleiche Ungleichung (e^a>= a+1) herhalten.
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Richtig. Jetzt fehlt nur noch der Beweis des Teils
Dafür kann wieder die gleiche Ungleichung (e^a>= a+1) herhalten.


Irgendwie komme ich da mal wieder auf keinen grünen Zweig, das hier sah noch recht vielversprechend aus, aber wenn ich die Ungleichung von oben anwende, dann komme ich irgendwie immer in Situationen, dass ich zu ungenau abgeschätzt habe, oder aber mir irgendwie alles nichts bringt...

juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Wende die Ungleichung auf an.
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Sei y = x+c, c>=0

,

was mit obigem meine Behauptung beweist.

Vielen Dank Freude
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

wobei das () ja nur für gilt. Für stimmt die zu zeigende Ungleichung aber auch.
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
wobei das () ja nur für gilt. Für stimmt die zu zeigende Ungleichung aber auch.


Das kann ich aber nicht mit der Abschätzung zeigen, die du vorgeschlagen hast, oder nicht?

Denn dann müsste ja y-x+1 >= y/x gelten,
das gilt aber z.B. für y=1 und x = 0.999 - wenn ich das hier gerade im Kopf richtig überlege - nicht.

Hast du einen anderen Vorschlag / eine andere Abschätzung, die gleich zum Ziel führt? Mir fällt da so direkt nichts ein...

EDIT: Ich sehe gerade, dass für dieses Zahlenpaar die zu beweisende Ungleichung überhaupt nicht stimmt...
D.h. mein ganzer Beweis ist Unfug :/ Hast du einen Alternativvorschlag? Wäre echt super smile
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Ungleichung dafür doch nicht gilt, war mir entgangen; entschuldigung, dass ich dich damit ein bisschen auf die falsche Fährte gelockt habe.
Aber es ist trotzdem nichts verloren! Es ist ja jetzt gezeigt, dass die Funktion auf gleichmäßig stetig ist. Außerdem ist sie auf aufgrund des nun schon mehrmals benutzten Satzes von oben gleichmäßig stetig. Es ist ein Leichtes sich zu überlegen, dass die dann auch auf der Vereinigung gleichmäßig stetig sein muss.
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Dass die Ungleichung dafür doch nicht gilt, war mir entgangen; entschuldigung, dass ich dich damit ein bisschen auf die falsche Fährte gelockt habe.
Aber es ist trotzdem nichts verloren! Es ist ja jetzt gezeigt, dass die Funktion auf gleichmäßig stetig ist. Außerdem ist sie auf aufgrund des nun schon mehrmals benutzten Satzes von oben gleichmäßig stetig. Es ist ein Leichtes sich zu überlegen, dass die dann auch auf der Vereinigung gleichmäßig stetig sein muss.


Boah, vielen Dank, ich hatte befürchtet, ich müsste nochmal von vorne anfangen smile
D.h. ich kann das jetzt im Prinzip alles so stehen lassen und für 0<=x<=1 den Satz von oben nutzen - und fertig? Oder sollte ich vielleicht 0<=x<=2 wählen, damit das mit der Vereinigung wirklich klar ist?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteres reicht. Du musst natürlich begründen, warum die Funktion auf der Vereinigung glm. stetig ist. Für je 2 Punkte in , die nah beieinander liegen, sollen auch die Funktionswerte nah beieinander liegen. Wenn beide Punkte in oder beide in liegen ist alles klar. Wenn einer in und der andere in liegt, dann wende jeweils die glm. Stetigkeit mit der Zwischenstelle 1 an und benutze die Dreiecksungleichung.
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Ersteres reicht. Du musst natürlich begründen, warum die Funktion auf der Vereinigung glm. stetig ist. Für je 2 Punkte in , die nah beieinander liegen, sollen auch die Funktionswerte nah beieinander liegen. Wenn beide Punkte in oder beide in liegen ist alles klar. Wenn einer in und der andere in liegt, dann wende jeweils die glm. Stetigkeit mit der Zwischenstelle 1 an und benutze die Dreiecksungleichung.


D.h. für x<1, y>1 (alle anderen Fälle sind ja eh klar), gilt:
Ex. :


damit:


?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sind dir die Deltas und Epsilons ziemlich durcheinander geraten.
Von der Idee her sollte eben dein Delta1 und Delta2 jeweils klein genug für Epsilon/2 gewählt werden, dann gilt für alle x,y im Intervall [1-Delta1,1+Delta2] die Ungleichung für Epsilon. (bzw. (1-min(Delta1,Delta2),1+min(Delta1,Delta2)) : d.h. für |x-y|<min(Delta1,Delta2) gilt...)
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte da einige Tippfehler drin, ich versuch's nochmal:

D.h. für 0<=x<1, y>1 (alle anderen Fälle sind ja eh klar), gilt:
Ex. :


damit (x und y von oben, bzw, für |x-y|<min{d1,d2}):
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es nun richtig. Freude
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