Funktionen (exp, quadr) beschreiben

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dub89 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen (exp, quadr) beschreiben
Ich habe mit einem Kollegen gemeinsam die Lösung einer Aufgabe erarbeitet, jedoch weiß ich nicht, ob diese richtig ist. Über ein "stimmt nicht" oder Ähnliches wäre ich bereits sehr dankbar! Freude

Beispiel:
1) Angenommen der Wasserverbrauch nimmt linear zu. Wie hoch war zwischen 1970 (2600km³) und 2010 (4300km³) die durchschnittliche jährliche Zunahme. Gib eine lineare Funtkion an.
Lösung: 4300 - 2600 = 1700 : 40 Jahre = 42,5 Zuhnahme/Jahr; lineare Funktion:

2) Lösst sich der Wasserverbrauch durch eine quadratische Funktion beschreiben? Nimm den Wert von 1990 (3600km³) dazu, um eine quadratische Funktion zu finden. Welcher Wasserverbrauch ist nach diesem Modell für das Jahr 2030 zu erwarten?
Lösung: ; Jahr 2030: k * 1990 = 2030 > k = 1,02 ... in die Funktion einsetzen: y = 3600^1,02 > y = 4240,61

Danke!
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

1.) ist richtig.

2.) ist falsch.

Zum einen sollst du bei 2.) eine quadratische Funktion finden, quadratische Funktionen sind allg. definiert als:

Deine Funktion wäre eine Exponentialfunktion, keine quadratische Funktion.



Weiterhin sieht man ja auch schon, dass die Beschreibung der Werte nicht hinkommt.

Wenn
1970 <-> 2600
1990 <-> 3600
2010 <-> 4300
zugeordnet ist, dann steigt der Wasserverbrauch ja stetig und das nicht linear.

Das bedeutet, für das Jahr 2030 -muss- zwangsläufig ein Wert rauskommen, der größer ist als der von 2010.

Und 4300 > 4240,61 (dein errechneter Wert für 3600)

Somit kann schon rein logisch dein Ergebnis nich hinkommen.
dub89 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Das mit der quadratischen Funktion ist natürlich peinlich - eh klar, dass es nur mit , funktionieren kann.

So rein vom logischen Standpunkt her, sollte die Funktion nun so aussehen - oder?
... "t" ist die Anzahl der Jahre ab 1990. Also im Jahr 1991 ist t gleich 1.
für 1990: 3600
für 1991: 7200
für 1992: 18000
für 1993: 36000
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

ok..vielleicht war ich noch nicht deutlich genug *g*

allgemein hast du ein

du kennst folgende Zuordnungen
1970 <-> 2600
1990 <-> 3600
2010 <-> 4300

In den Jahren zwischen 1990 und 2010 muss sich f(x) also zwischen 3600 und 4300 bewegen.
Bei deiner neuen Funktion ist das schon bei 1991 <-> 7200 nicht mehr so.

Du sollst ja irgendwelche finden, damit für f(0)=2600, f(20)=3600, f(40)=4300 ist.

Deine Parabel soll ja diese Punkte (und alle dazwischenliegenden) beschreiben, sodass der Wasserverbrauch für jedes ein zu ihm passender Wert zugeordnet wird.



Also ganz einfach ausgedrückt:

Deine Zuordnungen sind Punkte im Raum
Du hast 2 Parameter a & b, benötigst also 2 Punkte im Raum, um deine Funktion hinreichend beschreiben zu können.

P(x-Koord./y-Koord.)
P1(20/3600) [ f(20)=3600 ]
P2(40/4300) [ f(40)=4300 ]

Daraus ergeben sich 2 Gleichungen:
4300=a*40+b | für x=40
&
3600=a*20+b | für x=20

Auflösen und schon verläuft deine Parabel durch die 2 angegebenen Punkte Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ascer

Zum einen sollst du bei 2.) eine quadratische Funktion finden, quadratische Funktionen sind allg. definiert als:


Das bitte überdenken, die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist . Somit braucht man drei Informationen, um diese Funktion zu bestimmen, was auch zur Aufgabe passt.
dub89 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, , wobei

Aber ich habe das Prinzip schon verstanden - es ist mit Gleichungssystemen lösbar. Nun benötige ich drei Gleichungen, um "a","b" und "c" zu finden. Die Koordinaten für die Jahre 1980, 1990 und 2000 habe ich aus der Angabe.

Jahr 1980: 3200 = 100a + 10b + c
Jahr 1990: 3600 = 400a + 20b + c
Jahr 2000: 3900 = 900a + 30b + c

Danke!
 
 
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Zitat:
Original von ascer

Zum einen sollst du bei 2.) eine quadratische Funktion finden, quadratische Funktionen sind allg. definiert als:


Das bitte überdenken, die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist . Somit braucht man drei Informationen, um diese Funktion zu bestimmen, was auch zur Aufgabe passt.


Stimmt, war noch zu früh am morgen^^ bx+c ganz vergessen...

Drei Informationen ist natürlich korrekt, ich war jetzt einfach davon ausgegangen, dass er, wie ich ja auch angegeben hab, bei f(0)=2600 erkennt, dass 2600 das absolute Glied ist, also der Schnittpunkt mit der Y-Achse...

Deshalb hab ich mit 2 Punkten die noch benötigt werden weitergerechnet und da den morgendlichen Gedankenfehler gemacht, 2 Punkte mit ax^2 + b zu verbinden *g*
dub89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also - so wurde nun die quadratische Funktion ermittelt:
Angabe: Jahr 1980: 3200 km³; Jahr 1990: 3600; Jahr 2000: 3900 km³; Jahr 2010: 4300 km³
Nimm den Wert von 1990 dazu, um eine quadratische Funktion zu finden.



Gleichungssystem:
3900 = 100a + 10b + c
3200 = 100a - 10b + c
4300 = 400a + 20b + c

a = 1/6; b = 35; c = 10600/3



Stimmt das nun so? Danke.
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, stimmt nicht.

Es ist ja ax^2 + bx + c.

1980 -> 3200 ist deine erste Zuordnung, dein Startwert. Das bedeutet der liegt bei x=0.

Damit ergibt sich:

I. 3200 = a*0x^2 + b*0x + c (damit hat man auch gleich c=3200 auf einen Blick).

dann gibts noch 2000 -> 3900 und 2010 -> 4300.

2000 liegt von 1980 aus betrachtet 20 Jahre in der Zukunft, skaliert man x über die Jahre, erhält man x=20 (2000-1980) für 2000 und x=30 für 2010 (2010-1980).

Damit ergeben sich folgende Gleichungen:

II. 3900 = a*20x^2 + b*20x + c
&
III. 4300 = a*30x^2 + b*30x + c


Ich habe das jetzt nochmal sehr deutlich aufgeschrieben, damit es klarer wird.
Beim ausrechnen ist 0, 20 bzw. 30 für x natürlich schon der Wert, den man halt für x einsetzt. Das bedeutet, in den 3 Gleichungen fällt das x raus, da man ja Werte für x einsetzt. Ich hab es jetzt, wie gesagt, nur dazugeschrieben um nochmal klar zu machen, wo die Werte herkommen und was es für Werte sind.

Damit hast du I., II. und III. und kannst die Parabel berechnen.



Ganz einfach überprüfen ob es richtig ist, kannst du, wenn du einfach mal Werte einsetzt die hinkommen müssten und Werte einsetzt, die du gegeben hast.
Dein Startwert ist ja 3200, d.h. für x=0 muss die Parabelfunktion 3200 ausspucken, tut sie das -> ok, tut sie das nicht -> irgendwo ist ein Fehler.

Dann weiter nächster Wert: für x=20 z.B. muss die Parabelfunktion 3900 als Funktionswert liefern...einsetzen, überprüfen...

Wenn 1980 -> 3200, 2000 -> 3900, 2010 -> 4300 herrscht...dann kann man ganz einfach sehen, dass die Werte nur steigen. Das bedeutet, wenn du jetzt z.B. x=25 einsetzt (was 2005 entsprechen würde) müsste der Logik nach etwas größeres rauskommen als 3900 (weil das der Wert von 2000 war) und etwas kleineres als 4300 (weil das der Wert von 2010 ist).

Und ebenso, wenn du x=40 setzt, also für 2020 den Wert errechnest, müsste etwas herauskommen, was größer als 4300 (2010) ist und in etwa in die Folge hineinpasst...

5000 z.B. könnte man ganz grob auf den ersten Blick abschätzen... 500.000 wäre absoluter Schwachsinn, der Wasserverbrauch kann sich innerhalb von 10 Jahren (2010 -> 2020) ja nicht um einen Faktor von über 100 steigern...


So kannst du ganz einfach & nach der Logik -immer- und bei jeder Textaufgabe / Funktion überprüfen, ob dein Ergebnis in etwa hinkommt oder eben nicht.
dub89 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, also ich habe echt ein Problem damit, wie man den Wert der Koeffizienten von a und b ermittelt.

I. 3200 = c
II. 3900 = 20a + 20b + c ... > 20a = 700 - 20b
III. 4300 = 30a + 30b + c / *2

I. 3200 = c
II. 3900 = 20a + 20b + c
III. 8600 = 60a + 60b + 2c

... nun bei III. den Koeffizienten a ersetzen

III. 8600 = 2100 - 60b + 60b + 2c

und nun habe ich ein Problem ... auch die Gleichung stimmt dann nicht: 8600 = 2100 + 6400
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

nein, noch nicht ganz, bei 3900 setzt du x ja =20.

ax^2 + bx + c

Das bedeutet:

3900 = 20^2*a + 20*b + c Augenzwinkern

also: 400a + 20b + c

und bei x=30 ist es 30^2 sprich 900a + 30b + c
dub89 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank ascer! Freude

Ich erhalte nun:
a = 1/6
b = 95/3
c = 3200

3900 = 400*(1/6) + 20*(95/3) + 3200 > passt
4300 = 900*(1/6) + 30*(95/3) + 3200 > passt



Hier sind wir jetzt aber vom Jahr 1980 ausgegangen. Wenn ich wie in der Angabe vorgegeben, vom Jahr 1990 ausgehen soll, wäre das Jahr 1980 dann "x = -10" - oder?
Also:
I. 3200 = 100a - 10b + c
II. 3900 = c
III. 4300 = 100a + 10b + c
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau, das Jahr 1980 wäre dann x= -10 von 1990(als Startwert) aus betrachtet.

( wenn man die x-Achse der Jahre nach skaliert, was nach der Aufgabenstellung am sinnvollsten ist. du könntest z.B. auch alle Werte in Monate umrechnen und die X-Achse nach Monaten skalieren, dann würde 1980 von 1990 als 0 aus gesehen -10*12= -120 (Monate) entsprechen ).

Generell kannst du bei Funktionen deinen Startwert und auch die Skalierung wählen wie du lustig bist...am sinnvollsten ist es allerdings immer, den ersten gegeben Wert als Startwert (x=0) anzusehen, die Skalierung der X-Achse so zu wählen, wie die meisten Werte in der Aufgabe vorgebenen sind bzw. wie es, der Aufgabe nach zur Folge, am sinnvolsten gewählt werden sollte und eventuelle Ausreißer umzurechnen in deine Skalierung.

Beispielsweise könntest du mal Werte in m und km gegeben bekommen, dann musst du immer schauen, dass du eine sinnvolle Skalierung wählst für deine x-&-y-achse, z.B. km und alle gegebenen Werte dementsprechend umrechnest.
dub89 Auf diesen Beitrag antworten »

a = -1/2; b = 35; c = 3600
Kann es sein, dass die quadratische Funktion (ausgehend vom Jahr 1990) die Form einer nach unten geöffneten Parabel mit Extremwert (Hochpunkt) im Jahr 2025 (x = 35 Jahre nach 1990) hat?

Generell bin ich ein wenig verunsichert:
-(x²/2) ist doch negativ?! x² ist immer positiv, trotzdem ... -(x²/2) muss negativ sein - oder?
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs jetzt nicht nachgerechnet, aber ich kann dir auch schon so die Antwort verraten:

wenn du 1990 als x=0 nimmst, dann ist dort der Scheitelpunkt der Parabel. ( Zur Not Scheitelpunkt googeln )

Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, dann ist der Scheitelpunkt der höchste Funktionswert der Parabelfunktion, also Extremwert/Hochpunkt.

Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist es der niedrigste Funktionswert der Parabelfunktion, also Extremwert/Tiefpunkt.

Da eine Parabel ab ihrem Scheitelpunkt nur steigt (nach oben geöffnet) im negativen als auch im positiven x-Bereich, oder aber nur fällt (nach unten geöffnet) im negativen als auch im positiven x-Bereich, musst du dir überlegen, wie du die Werte zur Berechnung der Parabel wählst.

Wenn du steigende Werte hast, wie in deinem Beispiel, müssen die Funktionswerte der Parabel ja auch immer weiter steigen. Das bedeutet, du musst dir einen Funktionswert aussuchen, auf den du x=0 legst und der dann dein niedrigster Wert ist.

Ich denke, du hast 1990 als x=0 gewählt und dann 1980 mit in die Kalkulierung einbezogen. Was nicht geht, da 1980 < 1990 < 2000.
Wenn du 1990 als x=0 wählst, dann müsste 1990 der kleinste oder größte Wert der Parabel sein, alle anderen müssten kleinder oder größer sein.

Wenn du also 1990 x=0 wählst, dann müsstest du entweder alles was größer als 1990 ist verwerfen (dann ist die Parabel nach unten geöffnet und "berücksichtigt" die Vergangenheit, sowie 1980 (x=-10).
ODER du wählst 1990 x=0 und verwirfst alle Werte, die kleiner sind als 1990. Dann wird die Parabel immer größer, ist nach oben geöffnet, vernachlässigt die Vergangenheit aber beschreibt dir dafür die Zukunft...

Ungefähr jetzt klar, wie & wann die Parabel was beschreibt? Und vor allem warum?


btw: geht auf jeden Fall und lässt den Wert immer negativ werden, ja. Du könntest es ja auch umschreiben als oder noch deutlicher:



(jetzt mal nur a=-1/2 eingesetzt in der allg. Parabelform)

Da die Potenz immer zuerst berechnet wird, rechnest du z.B. 2^2=4 und danach wird immer mit -1/2 multipliziert, also =-2. Durch einen negativen Koeffizienten a werden sämtliche Werte a*x^2 negativ. (Zur Koeffizient googeln)
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