Ist für das Ideal der Faktorring ein Körper?

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Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »
Ist für das Ideal der Faktorring ein Körper?
Noch ein andere Aufgabe beschäftigt mich heute morgen:

Sei R der Ring der Gaußschen Zahlen. Ist der Faktorring R/I für folgende Ideale
I = R*a + R*b ein Körper?

a) a = 8 - 9i
b= 6 + 7i

Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Wer ist so nett und hilft mir???

Die Faktorring Axiome muss ich ja wohl nicht nachprüfen oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme zunächst erstmal den Erzeuger dieses Ideals. Dazu musst du einfach nur den ggT von a und b berechnen.

Ist dieser Irreduzibel, so ist R/I ein Körper, sonst nicht.
 
 
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!!!!! Das hilft mir schon sehr!!!
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den ggt nun folgendermaßen bestimmt:



Diese zerfällt nicht weiter und ist damit irreduzibel, oder?
Dann würde das bedeuten, dass der ggt irreduzibel ist und somit ist R/I ein Körper!
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Da tmo grad nicht da ist, Du aber wohl noch:
Zitat:
R der Ring der Gaußschen Zahlen

also .
Ist dieses a/b in R?
Zweitens: was heißt eigentlich irreduzibel genau?

Edit:
Im Übrigen ist a/b nicht der ggT(a,b).
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sitze leider nicht mehr am Schreibtisch und werde mich erst morgen wieder um die Aufgaben hier kümmern können. Ich hoffe, du kannst mit meiner Antwort noch warten? Ansonsten: Danke für dein Bemühen!!!!!
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Da tmo grad nicht da ist, Du aber wohl noch:
Zitat:
R der Ring der Gaußschen Zahlen

also .
Ist dieses a/b in R?
Zweitens: was heißt eigentlich irreduzibel genau?

Edit:
Im Übrigen ist a/b nicht der ggT(a,b).



Die wörtliche Aufgabenstellung lautet:

"Sei R = Z[i]. Für welche der folgenden Ideale I = R*a + R*b ist der Faktorring R/I ein Körper?"

Irreduzibel heißt doch nichts anderes, als dass das Ergebnis nicht weiter in kleinere Faktoren zerlegt werden kann. Also z.B ist 1 - i nicht weiter zerlegbar.
Ich berechne also a/b bzw. b/a und schaue mir das Ergebnis dann an.

Also hast du auch rausbekommen, dass für die obigen Elemente es kein Körper ist?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die explizite mathematische Def. deiner Begriffe kennen, d.h. auswendig oder diese nachschlagen wenn man sie bracuht. Die anschauliche Erklärung der Erklärung zu kennen ist schön, hilft aber nicht viel wenn man etwas exakt beweisen will.

Woher weißt du das 1-i nicht weiter zerlegbar ist?
Was ist z.B. mit 2 und 5 in diesem Ring?

Außerdem hat tmo dir doch geraten denn ggT(a,b) zu bestimmen.
Das solltest du als erstes angehen.

Zitat:
Also hast du auch rausbekommen, dass für die obigen Elemente es kein Körper ist?

geschockt
Der zweite Teil des Satzes ist so falsch, dass mir gar kein Vergleich einfällt. Ein Körper ist eine Menge. Er ist entweder Körper oder nicht nicht. Für welche Elemente soll er denn ein Körper sein?

Und nein der Ring der (ganzen) Gaußschen Zahlen ist kein Körper. Sonst würde er Körper, der.. heißen (den gibt´s übrigens auch.)
Man sieht´s da sich z.B. 2 nicht invertieren lässt.

Du musst ganz dringend am Verständnis der Begrifflichkeiten arbeiten. Insbesondere deine Vorstellung eines Körpers scheint mir sehr falsch.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte mir vielleicht jemand einmal den ggt für die obigen Elemente bestimmen, damit ich weiß, wie es richtig geht? Das wäre wirklich nett!
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Dir wird hier niemand die Arbeit abnehmen.
Den ggT berechnen ist hier schon fast die ganze Aufgabe.

Wie man einen ggT berechnen kann hab ich dir grade in ´nem anderen Thread verraten: euklidischer Algorithmus und das geht auch hier weil ein euklidischer Ring ist. (das findet sich garantiert in deinem Skript)
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem anderen Thema habe ich den erw. eukl. Alg eben angewandt. Erfolgreich hoffentlich ;-)

Kann ich hier also ganz genauso verfahren???
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn wie die Division mit Rest in diesem Ring funktioniert?
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt nicht!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte aber in deinen Unterlagen stehen, bzw. irgendwo müsste doch ein Beweis sein, dafür dass die ganzen Gausschen Zahlen ein eukl. Ring sind. Und genau da wird die Division mit Rest quasi konstruiert.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun folgendes gemacht:

Für die Division mit Rest im Ring Z[i] gilt:

a = 8 - 9i
b = 6 + 7i



Und wie mache ich jetzt weiter?
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

In der nächsten Aufgabe soll ich prüfen, ob
a = 8 + 9i
b = 6 + 7i

der Forderung entsprechen.

Hier habe ich mit dem in meiner vorherigen Antwort beschriebenen Alg herausgefunden, dass das Ergebnis

1 + i

ist.
Diese ist ja nicht weiter in PF zerlegbar, damit irreduzibel und eine Einheit, da und b damit teilerfremd sind. D.h., dass R/I in diesem Fall ein Körper ist.

Wäre meine Argumentation richtig?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Quad84
Ich habe nun folgendes gemacht:

Für die Division mit Rest im Ring Z[i] gilt:

a = 8 - 9i
b = 6 + 7i


Und wie mache ich jetzt weiter?

Warum berechnest du a/b? Du verwendest es ja auch nicht weiter.
Und dieses a=1*b +r ist keine Division mit Rest bach den bedingungen des eukl. Algo.,
da N(r)=260>85=N(b).

Hast du mittlerweile im Skript nachgeschaut, wie die Division mit Rest in diesem Ring funktioniert (bzw. gleichwertig was N ist.)?

Zitat:
In der nächsten Aufgabe soll ich prüfen, ob a = 8 + 9i b = 6 + 7i der Forderung entsprechen. Hier habe ich mit dem in meiner vorherigen Antwort beschriebenen Alg herausgefunden, dass das Ergebnis 1 + i

Da hast du dich verrechnest, denn (1+i) teilt weder a noch b in
Und auch hier wieder meine Frage: Woher weußt du, dass 1+i nicht weiter in PF zerlegbar ist. Es ist richtig, aber nur zu bahaupten, dass es gilt reicht nicht.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach erneuter Litrecherche komme ich nun zu folgendem Ergebnis:

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Man sucht für die Division mit Rest von a durch b Gaußsche Zahlen d und r mit: a = d*b + r, |r|<|b|

Damit ergibt sich für bei der Division in C von

a = 8 - 9i
b = 6 + 7i

a/b = .. = -3/17 - 22*i/17

Nun sucht man die nächstliegendste Gaußsche Zahl, in diesem Fall d = 0 + i

Dann bestimmt man den Rest durch

r = a - d*b = .. = 1 - i

Es gilt |r|=2 < 85 = |b|

Und dass 1 - i nicht weiter reduzibel ist, wurde in meinem Skript vorausgesetzt bzw an angeführter Stelle bewiesen.

So müsste es doch nun richtig sein, oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nun sucht man die nächstliegendste Gaußsche Zahl, in diesem Fall d = 0 + i Dann bestimmt man den Rest durch r = a - d*b = .. = 1 - i Es gilt |r|=2 < 85 = |b| Und dass 1 - i nicht weiter reduzibel ist, wurde in meinem Skript vorausgesetzt bzw an angeführter Stelle bewiesen.


Das Vorgehen ist prinzipiell richtig, die Ausführung ist es nicht.


r=a-ib=8-9i-i(6+7i)= 8-9i-6i+7= 15-15i
Sehe grade, dass d=-i eine sinnvolle Wahl ist.

Dein d soll anscheinend die nächstliegende Gaußsche Zahl zu a/b sein. (das ist hier ein sinnvoller Algo.)
Dann ist d=-i,

Ferner ist 1-i kein Teiler von a und b, wie man bei einer Probedivision leicht sieht, oder auch unter Ausnutzen von |.| (Ich hab´s immer N genannt).
Wenn in diesem Ring x|y gilt, so auch |x| | |y| (warum?)
|1-i|=2 und die Normen von a und b sind beide ungerade.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also mit deinen Hinweisen bin ich nun bei meiner Lösung bei r = 1 - 3i angelangt.

1 - 3i ist Teiler von a.

Und was sagt mir das nun?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die erste Zeile im eukl Ag.. Aber du musst den eukl.Alg. schon zu Ende führen. (d.h. bis zu einer Zeile mit r=0.)
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »



Habe ich mich hier verrechnet oder muss ich den Alg nochmal durchführen? Da ja r ungleich 0 ist.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zum nachrechnen gibts wolframalpha.

Du betrachtest aber doch eigentlich 6+7i ,oder ?


Und so wie du es grade gemacht hast, sieht man auch schnell, dass es nicht stimmt:
|15i|=225>10=|1-3i|.

Und der euklidische Algorithmus ist das Ganze. Jeder einzelne Schritt/Zeile ist ein Teil des Algorithmus, kein eigenständiger.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich 6 - 7*i.
Hatte mich vertippt, aber hier richtig gerechnet.

Ok, dann rechne ich also mit "deinem" Wert weiter, bis r = 0 ist.
Und danke für den Tipp mit wolfram....!!!!
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme einfach nicht weiter...

Was wählst du denn nun als d?

Bekomme immer ein Ergebnis raus, welches > 10 ist.

z.B. für d = 1+2i, d = -2 + 3i usw.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

d = -1+2i, d = -2 + 3i
müssten beide gehen;
ich hab mich für -1+3i entschieden.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »



Sorry, dass ich jeden Schritt besprochen haben muss, aber anscheinend stehe ich völlig auf dem Schlauch Forum Kloppe
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor wir das durchrechnen:

Ich bisher davon aus, dass das die folgenden zahlen betrachtet werden:
Zitat:
a = 8 - 9i
b = 6 + 7i

oder ist es

Zitat:
a = 8 - 9i
b = 6 - 7i

wenn es letzteres ist, ist meine Hinweis hinfällig.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

es ist der 1. fall, also kannst du weiter kommentieren ;-) Bitte!
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, nun habe ich auch was vernünftiges raus:

r2 = -2 + i
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt noch eine Zeile, dann wars das.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

ICH HAB´s!!!!!!!!!!!! Big Laugh

Wähle ich als nächstes also d = -1 +i
Dann bekomme ich r = 0 raus!!!!!!!


So, und was soll mir das jetzt nochmal sagen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist jetzt
ggT(8-9i, 6+7i)= -2+i in .

Und das musst du jetzt auf das urpsrüngliche problem anwenden.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut.
Woran erkenne ich, ob -2 +i irreduzibel ist?

Ich habe es eben probiert zu zerlegen, bekomme es aber nicht hin. Nur reicht das ja nicht als Begründung...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast erwähnt, dass ihr im Skript bewiesen habt, dass 1-i irreduzibel ist.
Vielleicht habt ihr dort sogar bewiesen wie alle irred. Element von aussehen.
Auf jeden Fall solltest du dir die Methode die dort verwendet wurde anschauen.
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