Definition: direkte Summe von zwei Untervektorräumen

05.01.2012, 13:04

Kmac

Definition: direkte Summe von zwei Untervektorräumen

Meine Frage:
Hallo,
heute habe ich eine Frage zur Definition:
Ein Vektorraum V heißt direkte Summe von zwei Untervektorräumen W und U:

$\begin{eqnarray*} V=W\oplus U\Rightarrow V=W+U und W\cap U=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun ob der als V bezeichnete Vektorraum auch wieder ein UVR von V sein kann?

Als Beispiel habe ich hier eine Aufgabe:

Sei V ein VR über R^3, U,W UVRe von V.

$\begin{eqnarray*} U= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 2t \\ t \end{pmatrix} ,t\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} W= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{pmatrix} ,y\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Ist U+W=V eine direkte Summe?

Meine Ideen:
Also:
sehe ich mein V als den gesamten R^3 dann ist:
$\begin{eqnarray*} U+W=\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 2t \\ t \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
das ist dann dim(U+W)=2 das ist dann nicht mein R^3 und somit nicht mein V und somit könnte das schonmal keine direkte Summe geben, denn $\begin{eqnarray*} U+W\neq V \end{eqnarray*}$ ????

ABER wenn ich nun mein V als UVR wieder ansehe:
dann ist V=U+W ein UVR von R^3 und dim(U+W)=2
dann gilt auch U+W=V(ist UVR R^2)
und die 2. Bedingung ist:
$\begin{eqnarray*} U\cap W= \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ welche ebenfalls erfüllt ist!
somit müsste dann folgen: $\begin{eqnarray*} U\oplus W=V \end{eqnarray*}$

SO, WAS ist nun richtig? Wie ist das "V" in dieser Definition zu sehen?

Danke!
kmac

05.01.2012, 13:23

Kmac

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RE: Definition: direkte Summe von zwei Untervektorräumen
Also, da ich jetzt nochmal meine Lemmas und Sätze bzgl. Summen von Vektorräumen durchgegangen bin, müsste meine 2. Annahme doch stimmen!
Also $\begin{eqnarray*} U\oplus W=V(UVR) \end{eqnarray*}$

Es wäre trotzdem hilfreich, wenn jemand das bestätigen (oder auch nicht) würde (nachdem er mal drüber geschaut hat)!!!

05.01.2012, 14:24

juffo-wup

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V ist ein beliebiger Vektorraum, U und W sind Untervektorräume davon. V kann natürlich Untervektorraum eines weiteren Vektorraumes sein (in deinem Beispiel IR^3), da es ja ein beliebiger Vektorraum ist.

05.01.2012, 14:47

Kmac

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also dann so:

$\begin{eqnarray*} U\oplus W=V(UVR) \end{eqnarray*}$ und somit V(UVR) Teilmenge V'(habe ist jetzt neu benannt). Und V' VR über R^3. ist das so richtig????

Dann noch eine weitere Frage hierzu:
$\begin{eqnarray*} U\oplus W=V(UVR) \end{eqnarray*}$ kann ich denn sagen, dass V R^2 (Teilmenge V' VR über R^3) ist, denn es ist ja dim(V)=2 und ist das hier richtig gedacht????

05.01.2012, 18:54

juffo-wup

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Zitat:

Original von Kmac
$\begin{eqnarray*} U\oplus W=V(UVR) \end{eqnarray*}$ und somit V(UVR) Teilmenge V'(habe ist jetzt neu benannt). Und V' VR über R^3. ist das so richtig????

V' kann kein Vektorraum über IR^3 sein, da IR^3 kein Körper ist. In deinem Beispiel ist V'=IR^3.

Zitat:

Dann noch eine weitere Frage hierzu:
$\begin{eqnarray*} U\oplus W=V(UVR) \end{eqnarray*}$ kann ich denn sagen, dass V R^2 (Teilmenge V' VR über R^3) ist, denn es ist ja dim(V)=2 und ist das hier richtig gedacht????

V ist isomorph zu IR^2 (als 2-dimensionaler IR-Vektorraum), aber als Menge natürlich nicht das gleiche.

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