Die Funktion e^(-1/x²)

13.01.2007, 12:12

madlock

Die Funktion e^(-1/x²)

Hallo,

wie immer enthält unser Mathe-Aufgabenblatt, neben schweren oder aufwendigen aufgaben auch scheinbar unlösbare. Bei der folgenden Aufgabe komm ich einfach nich weiter, bzw. ich find nicht mal einen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0 & x\leq 0 \\ e^{-1/x^2} & x>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung hierzu lautet:
Zeigen Sie, dass die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ unendlich oft differenzierbar ist. Es reicht dazu den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten, da dies in $\begin{eqnarray*} x\not=0 \end{eqnarray*}$ relativ klar ist. Verwenden Sie zum Beweis vollständige Induktion.

Unser Tutor in Mathe hat uns dazu noch den Tipp gegeben, dass man die n-te Ableitung in der Form:
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\begin{cases} p_n{\left( 1\over x \right)} e^{-1/x^2} & x\not=0 \\ 0 & x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
mit:
$\begin{eqnarray*} p_n{\left( 1\over x\right)}=a_0+a_1 \left(1\over x\right) + a_2 \left(1\over x\right)^2+...+a_m \left(1\over x\right)^m \end{eqnarray*}$

Ich komm mit der Aufgabe leider absolut nicht klar. Ich hab zwar schon rumprobiert, aber komm irgendwie überhaupt nicht voran. Ich wäre echt dankbar für jeden Tipp oder wie ich den Ansatz machen soll oder überhaupt.

Vielen Dank im Voraus

13.01.2007, 12:20

uwe-b

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die aufgabe mussten wir auch mal rechnen,... ein Hinweis steht im Königsberger Analysis I

13.01.2007, 12:21

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Der Tipp vom Tutor ist goldrichtig:

Beweise diese Darstellungsformel für $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ durch vollständige Induktion. Im Induktionschritt gehst du dabei naheliegenderweise so vor:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = \left[ f^{(n-1)}(x) \right]' = \cdots \end{eqnarray*}$ .

In der Bezeichnung ist allerdings eine kleine Ungenauigkeit: So wie du es aufgeschreiben hast, könnte man meinen, dass die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ für alle Polynome dieselben sind, also nur noch die mit größeren Indizes hinzukommen - das ist nicht so, es sind jeweils andere, also sollte man eher

$\begin{eqnarray*} p_n(z) = a_{n,0} + a_{n,1}z + \cdots + a_{n,m_n} z^{m_n} \end{eqnarray*}$

schreiben.

13.01.2007, 12:22

Leopold

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Das schreit doch förmlich nach Induktion. Zunächst einmal gilt die Formel für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_0(x) = 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt nimm an, sie gilt schon für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und zeige sie dann für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)} (x) = - \frac{1}{x^2} \cdot p_n' \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{x^2}} + \ldots \end{eqnarray*}$

14.01.2007, 17:57

madlock

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erstmal danke für die tipps, nur helfen sie mir leider nicht viel weiter. ich hab jetzt den halben nachmittab darüber gegrübelt und versucht wieterzukommen aber irgendwie klappts nich.

also wie ich die induktion machen muss is mir klar und induktionsanfang ist ja acuh kein problem. aber ich hab ja für $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$ ein völlig anderes $\begin{eqnarray*} p({1\over x}) \end{eqnarray*}$ , wie soll ich denn davon die ableitung rauskreigen.
und noch ein problem, wenn ich dann das $\begin{eqnarray*} p({1\over x}) \end{eqnarray*}$ habe, muss ich ja noch 0 dafür einsetzen, was denn doch zum ausdruck $\begin{eqnarray*} (\infty +\infty+...)\cdot 0 \end{eqnarray*}$

also diese aufgabe macht mich echt fertig...

14.01.2007, 20:25

Abakus

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Zitat:

Original von Leopold
Für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)} (x) = - \frac{1}{x^2} \cdot p_n' \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{x^2}} + \ldots \end{eqnarray*}$

Hier steht ja schon die Hälfte der Ableitung. Wo steckst du denn fest ?

Grüße Abakus smile

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