Markovketten

05.01.2012, 14:35	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovketten Meine Frage: Ich habe eine Frage zu Definition von Markovketten. Wir haben eine Markovkette über einer abzählbaren Menge S folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} \forall (A \subseteq S, n \geq 0, i_0...i_n \in S) \quad P(X_{n+1} \in A \|X_0 = i_0, ... X_n = i_n) = P(X_{n+1}\in A\|X_n=i_n) \end{eqnarray}$ Daraus würde ich gerne ableiten, dass für n > m > k gilt $\begin{eqnarray} \quad P(X_{n}=j\|X_k = i_0, X_m = l) = P(X_{n}=j \| X_m=l) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe versucht dies mit Induktion über n > m zu zeigen. Der Induktionsanfang n=m+1 lässt sich auch gut machen. Leider bekomme ich den Induktionsschritt nicht hin: $\begin{eqnarray} P(X_{n+1} = j\| X_k = i, X_m = l) &= \frac{P(X_{n+1} = j, X_k = i, X_m = l)}{P(X_k = i, X_m = l)} = \frac{\sum_{j_n \in S}P(X_{n+1} = j,X_n = j_n, X_k = i, X_m = l)\cdot \frac{P(X_{n} = j_n, X_k = i, X_m = l)}{P(X_{n} = j_n, X_k = i, X_m = l)}}{P(X_k = i, X_m = l)} \\ &\stackrel{IA + IV}{=}\sum_{j_n \in S}P(X_{n+1} = j\| X_n = j_n)\cdot P(X_{n} = j_n\| X_m = l) \end{eqnarray}$ HIer komme ich nicht weiter. Ich kann leider niht Chapman-Kolmogorov anwenden, da ich die zu beweisende Identität im Beweis davon benötige. Weiß jemand weiter?
05.01.2012, 14:53	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovketten Hallo, Ich verseh vermutlich deine Frage nicht ganz, aber letztendlich willst du zeigen, dass ein Markovprozess Chapman Kolmogoroff erfüllt?
05.01.2012, 15:08	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovketten Ich arbeite gerade den Beweis nach. Und dort wurde die Identität $\begin{eqnarray} \quad P(X_{n}=j\|X_k = i_0, X_m = l) = P(X_{n}=j \| X_m=l) \end{eqnarray}$ verwendet. Mir ist nicht ganz klar, wie ich das zeigen kann!
05.01.2012, 16:09	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovketten Ich würde mal sagen: Analog zu deinem obigen vorgehen kannst du zeigen, dass auch folgendes gilt: $\begin{eqnarray} P(X_{n+1} = j\|X_m = l) = \sum_{j_n \in S} P(X_{n+1} = j \|X_n = j_n) P(X_n = j_n\| X_m = l) \end{eqnarray}$ Wenn man sich nun das was du oben geschrieben hast, und das was hier steht ansieht, so folgt die Behauptung.
05.01.2012, 16:25	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovketten Aah, stimmt! Das ist ja einfacher als ich dachte. Zu viel grübeln lässt einen offenbar blind werden ;-) Vielen Dank!!!
05.01.2012, 16:27	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovketten Ich habs aber auch erst nicht gesehen und musste etwas drüber nachdenken. Naja so ist es manchmal
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