Unabhängigkeitssystem

05.01.2012, 15:07	wdposchmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeitssystem Hi, ich habe mal ne Frage zu Unabhängigkeitssystemen, ob ich das richtig verstanden habe, hat nämlich bisschen gedauert. Also die Definition ist laut unserem Skript folgende: Sei E eine endliche Grundmenge. Eine Menge $\begin{eqnarray} \mathcal{I} \subseteq \mathcal{P}(E) \end{eqnarray}$ heißt Unabhängigkeitssystem, falls mit $\begin{eqnarray} G \subseteq F \in \mathcal{I} \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} G \in \mathcal{I} \end{eqnarray}$ folgt. Was die Potenzmenge von E ist, ist klar, das sind einfach alle Teilmengen davon. Ich hab mir da jetzt mal ein Beispiel erstellt, an dem ich versucht habe, das zu verstehen: Sei $\begin{eqnarray} E = \left\{1,2,3,4\right\} \end{eqnarray}$ . Sei dann $\begin{eqnarray} \mathcal{I}_1 = \left\{ \emptyset, \left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{1,2\right\} \right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal{I}_2 = \left\{ \left\{1,2\right\}, \left\{1,2,3\right\} \right\} \end{eqnarray}$ . Ich behaupte, $\begin{eqnarray} \mathcal{I}_1 \end{eqnarray}$ ist ein Unabhängigkeitssystem und $\begin{eqnarray} \mathcal{I}_2 \end{eqnarray}$ nicht. Denn wenn ich mir in $\begin{eqnarray} \mathcal{I}_2 \end{eqnarray}$ laut obiger Definition als Menge F die Menge $\begin{eqnarray} \left\{1,2,3\right\} \end{eqnarray}$ wähle, so ist z.B. die Teilmenge $\begin{eqnarray} G = \left\{2,3\right\} \notin \mathcal{I} \end{eqnarray}$ . Ist diese Erklärung richtig? Analog argumentiert man für $\begin{eqnarray} \mathcal{I}_1 \end{eqnarray}$ , dass es eben ein Unabhängigkeitssystem ist. Wenn das richtig ist, könnte man dann die Definition auch so schreiben: Sei E eine endliche Grundmenge. Eine Menge $\begin{eqnarray} \mathcal{I} \subseteq \mathcal{P}(E) \end{eqnarray}$ heißt Unabhängigkeitssystem, falls $\begin{eqnarray} \forall F \in \mathcal{I} \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \mathcal{P}(F) \in \mathcal{I} \end{eqnarray}$ folgt. (Ich will damit nicht zwanghaft ne neue Definition aufstellen, sondern nur kontrollieren, ob ich es richtig verstanden habe) Vielen Dank schon mal fürs Durchlesen! Gruß
07.01.2012, 06:36	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt so. Unabhängigkeitssysteme werden ausreichend durch ihre inklusionsmaximalen Mengen beschrieben (d.h. es existiert keine echte Obermenge dieser Menge in dem Unabhängigkeitssystem), welche man "Basen" nennt. Das macht ihr aber sicher auch noch.
07.01.2012, 08:59	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Edit: Stimmt doch nicht ganz, ist aber wohl nur eine Sache der Notation. Und zwar ist in deiner äquivalenten Definition die Potenzmenge von F eine Menge von Mengen, d.h. sie ist auch kein Element, sondern eine Teilmenge von I.
09.01.2012, 01:04	wdposchmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank dir! Ja dein Hinweis mit meiner äquivalenten Definition hab ich verstanden, das war ein kleiner Fehler, dafür habe ich jetzt verstanden was ein Unabhängigkeitssystem ist. Könntest du mir evtl. noch mal kurz erklären, wie da jetzt genau eine Basis definiert ist? Also in unserem Skript steht ganz "plump": Ist $\begin{eqnarray} F \subseteq E \end{eqnarray}$ , so heißt eine unabhängige Teilmenge von F Basis von F, falls sie in keiner anderen unabhängigen Teilmenge von F enthalten ist. Fällt mir leider schwer, da jetzt ein Beispiel zu finden. Könntest du mir evtl. an meiner obigen Beispielmenge eines erläutern? Vielen Dank schon mal, Gruß
10.01.2012, 06:32	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es erstmal nicht viel zu erläutern. Es ist eben genau so, wie ihr es definiert habt. ("Unabhängig" heißt übrigens '"im Unabhängigkeitssystem enthalten", falls es daran hängt.)

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