Vektor Betrag - Rechenregel beweisen

05.01.2012, 15:39

Haki

Vektor Betrag - Rechenregel beweisen

Meine Frage:
Hallo,

ich muss folgende Rechenregel beweisen, jedoch hab ich das Problem bei der linken Seite, wie verrechne ich da das x innerhalb der || || ??

$\begin{eqnarray*} ||x\cdot \vec{a} ||=|x|\cdot ||\vec{a} ||; \forall x \in \mathbb R & \vec{a} \in \mathbb R³ \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} ||x\cdot \vec{a} ||=|x|\cdot ||\vec{a} || \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||x\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} || = |x|\cdot \sqrt{x²+y²+z²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} x*x \\ x*y \\ y*z \end{pmatrix} || = |x|\cdot \sqrt{x²+y²+z²} \end{eqnarray*}$

und nun?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x*x²+x*y²+x*z²} = |x|\cdot \sqrt{x²+y²+z²} \end{eqnarray*}$

kann mir jemand weiterhelfen? smile

05.01.2012, 15:54

Cel

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Hallo,

das ist etwas unglücklich aufgeschrieben: x hat bei dir zwei Rollen, einmal ist es der Skalar vor dem Vektor, einmal der erste Eintrag des Vektors.

Schreib das am besten noch mal mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf und guck unterhalb der Wurzel links mal, was du ausklammern kannst.

Des Weiteren hast du auf der linken seite einen Fehler gemacht: Jeder Eintrag muss quadriert werden, du hast aber nur den zweiten Faktor quadriert.

05.01.2012, 17:28

Haki

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also so meinst du?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x*a_{1})²+(x*a_{2})²+(x*a_{3})²} = |x|*\sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} \end{eqnarray*}$

€dit: aber eigtl muss ich das x ja in Betrag schreiben...

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(|x|*a_{1})²+(|x|*a_{2})²+(|x|*a_{3})²} = |x|*\sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} \end{eqnarray*}$

05.01.2012, 17:42

Haki

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juhu ich habs smile

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(|x|*a_{1})²+(|x|*a_{2})²+(|x|*a_{3})²} = |x|*\sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{|x|²\cdot (a_{1}+a_{2}+a_{3})²} = |x|*\sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|\cdot \sqrt{(a_{1}+a_{2}+a_{3})²} = |x|*\sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|\cdot \sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} = |x|*\sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} \end{eqnarray*}$

so smile

05.01.2012, 17:54

Cel

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Zitat:

Original von Haki
also so meinst du?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x*a_{1})²+(x*a_{2})²+(x*a_{3})²} = |x|*\sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} \end{eqnarray*}$

€dit: aber eigtl muss ich das x ja in Betrag schreiben...

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(|x|*a_{1})²+(|x|*a_{2})²+(|x|*a_{3})²} = |x|*\sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} \end{eqnarray*}$

Wieso muss x im Betrag stehen? verwirrt

Das ist falsch. Die obere Form stimmt.

Edit: Noch dazu behauptest, du $\begin{eqnarray*} a_1^2+a_2^2+a_3^2 = (a_1+a_2+a_3)^2 \end{eqnarray*}$ . Das ist ganz böse! Denk an die binomischen Formeln.

05.01.2012, 18:42

Haki

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Zitat:

Original von Cel

Zitat:

Wieso muss x im Betrag stehen? verwirrt

Wenn ich auf der linken Seite x aus der Wurzel nehme, dann habe ich ja kein Betrag mehr, auf der rechten Seite aber schon, also wäre das keine Gleichheit mehr.

mit der binomischen Formel hast du natürlich recht.
sollte eher so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²*(a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²)} = |x|*\sqrt{a_{1}+a_{2}+a_{3}} \end{eqnarray*}$

ah quatsch Hammer

wenn ichs ausklammere muss ich ja den Betrag dazuschreiben ne?

05.01.2012, 18:44

Cel

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Genau! Links nutzen wir die Potenzgesetze, was steht dann da? Wurzel aus einem Produkt ist gleich ...

05.01.2012, 18:51

Haki

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²*(a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²)} = |x|*\sqrt{a_{1}+a_{2}+a_{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²}\cdot \sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} = |x|*\sqrt{a_{1}+a_{2}+a_{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|\cdot \sqrt{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²} = |x|\cdot \sqrt{a_{1}+a_{2}+a_{3}} \end{eqnarray*}$

so?

logisch x kann ja auch einen negativen Wert annehmen, der wird dann quadriert und somit positiv, deswegen |x| oder?

05.01.2012, 18:59

Cel

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Links steht es richtig, warum fehlen die plötzlich rechts? Das war schon im letzten Beitrag falsch.

05.01.2012, 19:08

Haki

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hoppla

rechts stehen natürlich auch die quadratzeichen.

vielen Dank!

05.01.2012, 19:13

Cel

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Gut, dann ist ja alles klar. Das gefährlichste an der Aufgabe war, zu vergessen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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