Induktionsbeweis anhand einer Aufgabe erklären?!

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PamBam Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis anhand einer Aufgabe erklären?!
Meine Frage:
Kann mir bitte jemand helfen! Ich schreibe bald in Mathe eine Prüfung. Sitze schon seit n paar Stunden über diesen Induktionsbeweisen... Hab schon echt viel durchgelesen, aber verstehen tu ichs leider immer noch nicht.
Ich hab hier mal eine Klausuraufgabe:

\sum\limits_{i=1}^n-1 (2i-1)=n²-3 ; n>=2

Meine Ideen:
So, ich habe als Induktionsanfang n=2 gesetzt. Linke seite ist 1 und rechte Seite auch. Also ist die Induktionsannahme wahr! Normalerweise setzt man ja jetzt n+1! Wie macht man es hier? ist es dann nur n??

Wenn mir jemand helfen kann, kann er mir dann bitte auch die einzelnen folgenden schritte erklären, also wann ich rechts bzw. links n+1 einsetze?!?!

Wäre sehr sehr nett wenn mir jemand helfen könnte!
Falls es zu undeutlich beschrieben wurde, bitte einfach nochmal nachfragen.
Danke schon mal!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsbeweise bestehen immer aus drei Teilen:

1) Der Induktionsanfang
Zeige die Gültigkeit der Aussage für ein (meist möglichst kleines) n (hier n=2).

2) Die Induktionsvoraussetzung
Nimm an, Du hättest die Aussage schon für ein n bewiesen.

3) Der Induktionsschluss
Zeige, dass die Aussage auch für n+1 gilt, indem Du 2) ausnutzt.

Schritt 1 hast Du richtig gerechnet, Schritt 2 unter den Tisch fallen lassen.
Für Schritt drei setzt Du in der Tat für jedes n in der linken Seite der zu zeigenden Gleichung n+1 ein und formst sie so lange um, bis Du die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung herausbekommst. Dabei ist das Ziel zunächst den Term in eine Form zu bringen, die die in Schritt 2) als richtig angenommene Formel für n enthält.

Bezogen auf deine Gleichung heisst das:

1) Zeige :

2) Nimm an, dass für ein bestimmtes gilt

3) Zeige, dass
 
 
PamBam Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir bitte den 3. schritt etwas ausführlicher erklären!? Soweit hab ichs verstanden! nur mit dem n-1+1 komm ich noch durcheinander!? Vielen dank vorab!!!!!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte ja schon gesagt, dass man jedes n durch n+1 ersetzten muss und genau das habe ich an der Stelle gemacht. Die Summe geht nicht mehr bis n-1, sondern (n+1)-1, also n.
PamBam Auf diesen Beitrag antworten »

ok, passt. Gecheckt. Vielen Dank dir smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PamBam
Ich hab hier mal eine Klausuraufgabe:


Entweder handelt es sich um einen Schreibfehler, oder man wollte mit dieser (für n>3) falschen Behauptung die Studenten mal testen, wieviel Mühe sie da reinstecken...
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