Nullstellen komplexer Exponentialfunktionen?

13.01.2007, 12:43	Mario Finkel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen komplexer Exponentialfunktionen? Hallo zusammen, ich habe ein großes Problem. Ich soll ein Referat in Mathematik ausarbeiten über die Berechnung der Nullstellen komplexer Exponentialfunktionen. Im Internet habe ich bisher nach mehrstündiger Suche nichts wirklich verständliches darüber gefunden. Hat hier vielleicht jemand Tipps oder ein paar Links zu dem Thema? Ich muss dazusagen: Wir hatten das Thema Exponentialfunktionen noch nie und sollen uns das in Referaten eben selber erarbeiten. Normale e-Funktionen habe ich soweit aber schon verstanden. Bloß bei den komplexen hapert es halt sehr. Ich würde mich über Hilfe sehr freuen. Liebe Grüße, Mario
13.01.2007, 13:04	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Suchst du jetzt etwas für Nullstellen von e-Funktionen in komplexen?
13.01.2007, 13:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Beantwortung deiner Frage hängt ganz davon ab, wie du die komplexe e-Funktion einführst. Da du noch auf der Schule bist, wirst du mit komplexen Potenzreihen oder Ähnlichem nicht viel anfangen können. Von den aus dem Reellen bekannten Funktionalgleichungen $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{x_1 + x_2} = \operatorname{e}^{x_1} \cdot \operatorname{e}^{x_2} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \exp{\left( x_1 + x_2 \right)} = \exp{x_1} \cdot \exp{x_2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \exp{x} = \operatorname{e}^x \end{eqnarray}$ (Funktionalgleichung der e-Funktion - erstes Potenzgesetz) $\begin{eqnarray} \cos{\left( y_1 + y_2 \right)} = \cos{y_1} \cdot \cos{y_2} - \sin{y_1} \cdot \sin{y_2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin{\left( y_1 + y_2 \right)} = \sin{y_1} \cdot \cos{y_2} + \cos{y_1} \cdot \sin{y_2} \end{eqnarray}$ (Additionstheoreme) ausgehend, könntest du die Funktion $\begin{eqnarray} \exp{z} \end{eqnarray}$ für komplexes $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i} y \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ als Real- bzw. Imaginärteil von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ) folgendermaßen definieren: $\begin{eqnarray} \exp{z} = \operatorname{e}^x \cdot \left( \cos{y} + \operatorname{i} \sin{y} \right) \end{eqnarray}$ Das ist zunächst nur ein Name. Interessant ist aber, daß für diese Funktion $\begin{eqnarray} \text{()} \ \ \ \exp{\left( z_1 + z_2 \right)} = \exp{z_1} \cdot \exp{z_2} \end{eqnarray}$ für beliebige komplexe $\begin{eqnarray} z_1,z_2 \end{eqnarray}$ gilt. Das müßtest du dann beweisen. Dazu brauchst du die oben genannten Beziehungen. Da die so definierte Funktion $\begin{eqnarray} \exp \end{eqnarray}$ dieselbe Funktionalgleichung wie die reelle e-Funktion erfüllt und für relle $\begin{eqnarray} z=x \end{eqnarray}$ mit der reellen e-Funktion übereinstimmt (das ist nachzuweisen!), kann man sie als Fortsetzung der reellen e-Funktion ins Komplexe auffassen und die Bezeichnung $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^z = \exp{z} \end{eqnarray}$ übernehmen. Alle aus dem Reellen bekannten Gesetze, die sich allein aufgrund der Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} \text{()} \end{eqnarray}$ herleiten lassen, können übernommen werden, andere dagegen nicht unbedingt. Und zur Bestimmung von Nullstellen oder Funktionswerten kannst du jetzt auf die Definition von $\begin{eqnarray} \exp{z} \end{eqnarray}$ oben zurückgreifen.
13.01.2007, 14:07	Mario Finkel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Uwe und Leopold, @Uwe: Also das Referatsthema heißt: "e-Funktionen, komplexe Funktion, Nullstellen mit logarithmieren"! @Leopold: Das klingt ja alles schonmal sehr interessant Aber das schwere für mich ist momentan, dass ich mir das komplette Thema ja selbst erarbeiten muss. Wie ich nun auf die Nullstellen durch logarithmieren komme, ist mir noch total unklar. Bei den reellen e-Funktionen ist das ja einfach, denn wenn ich das richtig verstanden habe, gibt es keine Nullstellen auf der x-Achse. Klingt jetzt vielleicht ein bisschen blöd, aber könntest du mir noch ein paar Tipps zu den Nullstellen geben? Ich will jetzt keineswegs den Eindruck erwecken, dass ich faul bin oder so, aber im Moment stehe ich wirklich noch auf dem Schlauch mit dem Thema. Liebe Grüße, Mario
13.01.2007, 14:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die komplexe e-Funktion ist nicht gottgegeben. Die liegt also nicht sozusagen auf der Straße, schaut dich hilfesuchend an und seufzt: Komm, nimm dich meiner an, zeige mir meine Nullstellen. Vielmehr mußt du die komplexe e-Funktion erst erschaffen. Eine Möglichkeit, das zu tun, habe ich dir in meinem ersten Beitrag gezeigt. Wenn du aus dem Unterricht oder nach den Vorgaben des Lehrers das anders machen sollst, mußt du uns das sagen. Um es zusammenzufassen: Erst mußt du uns deine Definition der komplexen e-Funktion mitteilen, dann können wir uns über ihre Nullstellen unterhalten.
13.01.2007, 14:42	Mario Finkel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, genau da liegt das Problem. Die einzige Angabe, die ich von meinem Lehrer bekam, ist die, die ich an Uwe geschrieben habe! Mein Lehrer hat mir keine bestimmte Funktion gegeben oder ähnliches. Ich weiß nicht, vielleicht möchte er, dass wir uns selber eine zurechtlegen oder so. Liebe Grüße, Mario
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13.01.2007, 15:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann übernimm doch meinen Vorschlag und definiere $\begin{eqnarray} \exp{z} = \operatorname{e}^x \cdot \left( \cos{y} + \operatorname{i} \sin{y} \right) \end{eqnarray}$ Gehe dann so vor, wie von mir beschrieben. Beginne also, die Funktionalgleichung nachzuweisen, und zeige, daß für reelle $\begin{eqnarray} z=x \end{eqnarray}$ diese Definition dasselbe liefert wie die übliche e-Funktion. Das rechtfertigt es dann, dieser Funktion den Namen e-Funktion zu geben.
14.01.2007, 15:43	Mario Finkel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, also, ich glaube durch deine Ausführungen oben bin ich jetzt erst richtig durchgestiegen. Also die Zusammenhänge sind mir jetzt schon klar geworden. Bei dem Nachweis habe ich aber dennoch noch so meine Probleme. Das e steht ja für 2,718...! Es ist mir allerdings noch völlig unklar, was für Werte ich für die anderen Unbekannten einführen soll. Mein Problem ist halt, dass mir die kompletten Grundlagen fehlen, da ich das Thema ja noch nie hatte und dann gleich mit komplexen Funktionen anfangen soll. Es muss doch irgendwo mal eine Beispielaufgabe geben oder diesen Beweis!? Liebe Grüße, Mario

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