Welche Elemente sind im Ring Z[Wurzel 2] zueinander assoziiert?

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Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Elemente sind im Ring Z[Wurzel 2] zueinander assoziiert?
Meine Frage:
Wie kann ich nachweisen oder widerlegen, ob

a = -2 + Wurzel aus 2
b = 17 + 12 * Wurzel aus 2

zueinander assoziiert im obigen Ring sind?

Meine Ideen:
Bis auf die Def. von Assoziiertheit fällt mir spontan nichts ein....

Für eine Lösungsidee wäre ich überaus dankbar!!!
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eben die Def von assoziativen Elementen angewendet:

a,b sind ass. zueinander, g.d.w. ein Element u ex., sodass a = u*b!

Da es kein derartiges u gibt, sind a und b aus dem obigen Bsp nicht assoziiert zueinander. Kann mir jemand dies bestätigen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
a,b sind ass. zueinander, g.d.w. ein Element u ex., sodass a = u*b!

Das ist nicht die Def. von Assoziiertheit sondern von b|a .
Für Ass. muss u eine Einheit sein.

Und woher nimmst du die Erkenntnis, dass hier kein solches u existiert?
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

da ich es bis eben ja nicht besser wusste, dass u eine einheit sein muss, konnte ich es nicht ausschließen. wie würdest du denn an die aufgabe herangehen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine stärkere Aussage bewiesen/behauptet.
Wenn es keinen Teiler gibt, gibt es insbesonderen keinen invertierbaren Teiler.
War das nur eine Behauptung oder steckte da eine Überlegung dahinter?
(denn die Behauptung ist korrekt)
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe einfach versucht einen Teiler für a und b zu finden. Da diese jedoch keinen haben, habe ich daraus geschlossen, dass es kein passendes Element u gibt und diese somit auch nicht assoziiert sein können.

Nur hast du mich jetzt verunsichert mit der Einheit. Wie kann ich das in meinen Überlegungen unterbringen?
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da diese jedoch keinen haben, habe ich daraus geschlossen, dass es kein passendes Element u gibt und diese somit auch nicht assoziiert sein können.

Zeig mir dden genauen Beweis dafür. Momentan klingts nach: Ich konnte keinen finden, also gibts keinen.

Zur Einheit: Wie gesagt, brauchen wir die gar nicht unbedingt. Weißt du was eine Einheit ist?
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Einheit im Ring ist ein Element, welches mit der Ordnungszahl dieses Ringes nur 1 als ggt hat. So in eigenen Worten ausgedrückt. Oder?

Gut, dann versuche ich mal meinen Beweis hier zu posten:

Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

und weil dieses ergebnis mit b multipliziert nicht wieder a ergibt, habe ich daraus geschlossen, dass sie keinen teiler haben.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das ist falsch. Die rechte Seite muss negativ sein und betragsmäßig kleiner als 1.

Zweitens: im Eingangs post war b noch
Drittens. Tex-kommando für Wurzel 2 ist \sqrt{2} .
Viertens: Warum ist dein(falsches) Ergebnis kein so ein u wie anfangs gefordert?
Fünftens: Der Quotient b/a ist angenehmer zu berechen (so wie 8/2 angenehmer zu berechnen ist als 2/8)

Die Def. einer Einheit ist falsch. Schlage sie im Skript nach. (Das ist eine der Def. die ein Hörer einer Algebra-Vorlesung meines Erachtens besoffen, übernächtigt, stoned und weiß der Geier was noch trotzdem wissen muss ).

Der ggT ist nicht in allen Ringen definiert.

Zu deinem zweiten Post: Dieser Schluss ist hanebüchen. Das die Multiplikation mit b nicht das ursprüngliche liefert heißt schlicht und einfach, dass
du dich verrechnet hast.
Dieses Vorgehen nennt man Probe, wie bereits aus der schule bekannt sein sollte.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, neuer Versuch:



Nun ist mein Ergebnis rechts negativ.

Stimmt das bis jetzt?

Sorry für die Mühen, aber ich versuche es ja wenigstens alleine hinzubekommen! geschockt
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Deine rechte Seite ist nicht negativ (stimmt aber meiner revhnung überein).
Aber das ist gut so, denn im Gegensatz zum vorigen Post betrachtest du und nicht .

was sagt uns jetzt dieses Ergebnis.

Es ist löblich (und für dich das sinnvollste) dass du versuchst es alleine hinzubekommen.
Aber die studierst deinen Fragen nach bereits mind. im 3. Semester, da bin ich der meinung dass man das von die erwarten kann/sollte.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich so argumentieren:

Da -2 * Wurzel 2 keine Einheit für den Ring ist, sind die Elemente nicht assoziert zueinander.

???
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die drei Fragezeichen zurück.
Erstens: Woher weißt du, dass keine Einheit ist?
(nach welcher Def. jetzt eigentlich?)
Zweitens: Auch Einheiten können zu anderen Elementen assoziiert sein (das müssen dann allerdings auch Einheiten sein.)

Was fällt dir an deinem Ergebnis in Bezug auf auf?
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wurzel 2 ist ja zum Körper der ganzen Zahlen adjungiert.
Da das Ergebnis jedoch keine ganze Zahl ist, kann es nicht zu Z gehören. Und daher existiert kein Teiler.

So richtig?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal richtig böser Schnitzer:
Die ganzen Zahlen sind kein Körper..
ist ein Ring. (der etliche zusätzliche Eigenschaften erfüllt)

Aber im Ansatz richtig ist deine weitere Argumentation: .
Aber wir konnten es berechnen, da wir als Teilmenge von z.B. den reellen Zahlen auffassen können und dort können wir b/a berechnen
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

VIELEN DANK für deine Hilfe!!!!!!!!!!
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