Reihen

05.01.2012, 18:04

(kim)

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Reihen

Meine Frage:
Ich möchte folgende Ungleichung beweisen, mir fehlt aber der richtige Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[n]{n}} \leq k + 1 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
Habe den Tipp bekommen mit der Bernoullischen Ungleichung zu arbeiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[k]{n} } - \frac{1}{\sqrt[k]{n+1} } \geq \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt[k]{n} } \end{eqnarray*}$

05.01.2012, 19:22

Gast11022013

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Was soll hier denn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein, weiß das jemand?

Und gibts für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ irgendwelche Einschränkungen?

Woher hast Du diese Form der Bernouilli-Ungleichung?

Ist hier 2.2.17 gemeint?

http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/l...ung/node38.html

05.01.2012, 19:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von (kim)
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[n]{n}} \leq k + 1 \end{eqnarray*}$

Völlig egal, was hier $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist - das ist für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ falsch:

Es lässt sich ziemlich einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} < 2 \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nachweisen, folglich ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[n]{n}} > \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} = \infty \end{eqnarray*}$ ,

also Divergenz per Minorantenkriterium.

05.01.2012, 19:57

Gast11022013

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Vielen lieben Dank, dann verwundert es mich nicht mehr, daß ich's partout nicht bewiesen bekommen habe. Big Laugh

Big Laugh

05.01.2012, 22:53

Jaso

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Falsch?
Falsch kann die Ungleichung auf jeden Fall schonmal nicht sein! Ich bin anscheinend im selben Kurs wie (kim) und die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die von (kim) genannte Ungleichung.
Tipp: Folgern Sie mit Hilfe der von (kim) genannten Bernoullischen Ungleichung.

Wir sollen also nicht schauen, ob es wahr oder falsch ist und auch nicht direkt die Konvergenz bestimmen, sondern nur zeigen, dass diese Aussage wahr ist.

05.01.2012, 23:36

Gast11022013

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RE: Falsch?
Woher stammt denn diese Bernouillische Ungleichung?
Ist die Euch einfach so vorgegeben?

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06.01.2012, 00:05

blublab

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Im Nenner muss es k-te Wurzel aus n und nicht n-te Wurzel aus n heißen.

06.01.2012, 00:29

Jaso

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Ja, diese Bernoullische Ungleichung wurde einfach vorgegeben. Und blublab hat recht, es muss
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n\sqrt[k]{n}} \leq k+1 \end{eqnarray*}$

heißen. Hatte (kim) wohl falsch abgeschrieben.
Wie man das beweisen soll, und das noch mit Hilfe der Ungleichung, ist mir auch nicht klar...

06.01.2012, 10:57

René Gruber

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Was durch diesen Schreibfehler $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nun natürlich eine völlig andere Aufgabe ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bernoulli hin oder her (mit dem geht es wohl auch), naheliegend wäre basierend auf der fallenden Monotonie der Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^{-1-\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ die Integralabschätzung

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^m n^{-1-\frac{1}{k}} \leq \int\limits_1^m x^{-1-\frac{1}{k}} ~ \dd x = \Big[ -kx^{-\frac{1}{k}} \Big]_{x=1}^m = k\left(1-m^{-\frac{1}{k}}\right) < k \end{eqnarray*}$ ,

mit der die Behauptung unmittelbar folgt

06.01.2012, 10:58

EinGast

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aus dem gegebenen Hinweis kann man eine Abschätzung für
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n}} \end{eqnarray*}$
herleiten, und daraus erhältst du dann leicht die Behauptung.

Der Hinweis folgt (nach etwas Unformen) aus der (üblichen) Bernoulli-Ungleichung

06.01.2012, 12:11

Gast11022013

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Aus dem Hinweis folgt doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n}}\leq k\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right] \end{eqnarray*}$ ,

korrekt?

Wie bekommt hieraus nun "leicht" die Behauptung?
Ich hab' anscheinend gerade Tomaten auf den Augen.

06.01.2012, 13:41

EinGast

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Zitat:

Original von Dennis2010
Aus dem Hinweis folgt doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n}}\leq k\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right] \end{eqnarray*}$ ,

korrekt?

ja, und die Reihe rechts kann man berechnen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right]=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right]=... \end{eqnarray*}$

06.01.2012, 14:09

Gast11022013

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Zitat:

Original von EinGast
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right]=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right]=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt[k]{N+1}}\right)=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (k\in\mathbb N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n}}\leq k \end{eqnarray*}$

------------

Kann man nun

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot\sqrt[k]{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(n+1)\cdot\sqrt[k]{n}}\cdot\frac{(n+1)}{n}\right] \end{eqnarray*}$

benutzen?

06.01.2012, 14:56

René Gruber

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Es geht wohl eher über Indexverschiebung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[k]{n}} = 1 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[k]{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n+1}} \leq 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n}} \leq 1+k \end{eqnarray*}$ .

06.01.2012, 14:59

Gast11022013

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Dankeschön!

Darauf wäre ich so schnell nicht gekommen (wenn überhaupt).

PS. Jetzt habe ich der Fragestellerin bzw. dem Fragesteller streng genommen die Lösung weggenommen; ist ja nicht gerade im Sinne dieses Boards. Hm, ich sollte mich wirklich weniger einmischen, aber ich war so neugierig, die Aufgabe zu lösen. Entschuldigung... unglücklich

unglücklich

07.01.2012, 21:02

Jaso

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Zitat:

Original von Dennis2010
Original von EinGast
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right]=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right]=... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt[k]{N+1}}\right)=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (k\in\mathbb N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n}}\leq k \end{eqnarray*}$

Ich bin zwar nicht die Fragestellerin, habe die Aufgabe aber auch zu lösen und mittlerweile alles verstanden. Nur könnt ihr vielleicht einmal erklären, wie ihr auf den Grenzwert 1 kommt? Bzw. auf die Umformung von
$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left[\frac{1}{\sqrt[k]{n}}-\frac{1}{\sqrt[k]{n+1}}\right]= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt[k]{N+1}}\right)=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (k\in\mathbb N) \end{eqnarray*}$

Ich hätte jetzt gesagt, dass der erste Teil gegen 0 geht und der zweite auch, da nur im Nenner etwas steht...

07.01.2012, 21:08

Gast11022013

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Schreib die Summe mal zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} N=2 \end{eqnarray*}$ aus, dann siehst Du daß nur $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{\sqrt[k]{N+1}} \end{eqnarray*}$ übrig bleibt (Teleskopsumme). Und wenn Du jetzt $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachtest, so ändert sich an der 1 natürlich nichts und der Bruch geht gegen 0, da nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

07.01.2012, 21:52

blublab

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Oder es einfach über Induktion beweisen. Wären die Terme nicht so groß / lang wäre der Beweis ein Zweizeiler ^^

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