Folgen: Umwandlung rekursive/induktive in explizite Definition

05.01.2012, 18:22	Horst S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen: Umwandlung rekursive/induktive in explizite Definition Meine Frage: Hallo, ich habe bei der folgenden Aufgabe das Problem, dass ich einfach nicht weiter komme. Es geht um die Umwandlung einer Folge von der rekursiven/induktiven Definition in die explizite. Den umgekehrten Fall haben wir in der Vorlesung behandelt und den habe ich auch verstanden. Nur hier stehe ich auf dem Schlauch. Leider benötige ich das Ergebnis für darauffolgende Teilaufgaben. Es wäre nett, wenn mir jemand eine Idee zum Lösungsweg gibt. Die Folge ist so definiert: $\begin{eqnarray} f_{1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{n+1} = \frac{1}{2}(f_{n} + \frac{1}{2^{n}}) \end{eqnarray}$ PS: Das Internet habe ich durchwühlt, aber nur einfachere Beispiele ohne eine genaue Vorgehensweise gefunden. Vielen Dank im Vorraus! Meine Ideen: Da man an Hand der intuitiven Definition eine Idee von der expliziten bekommen sollte, habe ich die ersten fünf Folgenglieder berechnet: $\begin{eqnarray} (f_{n}) \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}, \frac{5}{32} \end{eqnarray}$ Darin kann ich leider überhaupt keine Regelmäßigkeit erkennen...
05.01.2012, 19:09	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen: Umwandlung rekursive/induktive in explizite Definition schreibe es einmal so auf 1/2,2/4,3/8,4/16 .....
05.01.2012, 21:11	Horst S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, super! Das wars. Hab es hinbekommen! Falls es jemanden interessiert: Die explizite Definition lautet: $\begin{eqnarray} f_{n} = \frac{n}{2^{n}} \end{eqnarray}$ Habe es auch per induktiven Beweis nachgewiesen. Aber eine Frage bleibt: Gibt es eine Methode, wie man zur expliziten Definition kommt? Oder bleibt einem nur das scharfe Angucken der intuitiven Definition?
05.01.2012, 23:27	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine Methode, die immer klappt, aber hier könnte man so vorgehen: Durch das mal 1/2 kann man vermuten, dass der Nenner sich immer verdoppelt. Also betrachtet man mal die Folge $\begin{eqnarray} c_n := 2^nf_n \end{eqnarray}$ und hofft, dass man diese Folge explizit darstellen kann. Und in der Tat ergibt sich, wenn man die Rekursionsformel mit $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \end{eqnarray}$ multipliziert: $\begin{eqnarray} 2^{n+1}f_{n+1} = 2^nf_n+1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} c_{n+1} = c_n+1 \end{eqnarray}$ Zusammen mit $\begin{eqnarray} c_1 = 1 \end{eqnarray}$ ist also sofort klar, dass $\begin{eqnarray} c_n = n \end{eqnarray}$ gilt. Also ist $\begin{eqnarray} f_n = \frac{c_n}{2^n} = \frac{n}{2^n} \end{eqnarray}$

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