ZSF einer komplexen matrix

05.01.2012, 18:32

bastixy

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ZSF einer komplexen matrix

Hallo,
habe folgende MAtrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ -2 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
möchte nun den eigenraum bestimmen für $\begin{eqnarray*} \lambda = 1+2i \end{eqnarray*}$

komme aber bisher nur auf folgendes und nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2i & 1 & 2 \\ 0 & -2-2i & 0 \\ 0 & 2+i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre nett wenn mir jmd weiterhelfenm könnte.

05.01.2012, 22:22

bastixy

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kann mir keiner helfen?

05.01.2012, 22:49

Kimi_R

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Du hast also den Eigenwert 1 + 2*i
Um zugehöre Eigenvektoren zu bekommen musst du nun also folgendes LGS lösen:
$\begin{eqnarray*} A*x=\lambda*x \Leftrightarrow (A-\lambda*I)*x=0 \end{eqnarray*}$

Jedes x welches das erfüllt ist ein zugehöriger Eigenvektor. Die linear unabhängigen Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf

Edit: Mit A mein ich deine ursprüngliche Matrix, also ohne irgendwelche Lambda... Was du dir überlegt hast, also den Eigenwert in die Matrix A-Lambda*I einzusetzen ist nämlich leider unsinnig

05.01.2012, 23:11

bastixy

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aber ich habe doch nun folgende matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich $\begin{eqnarray*} A*x=\lambda*x \Leftrightarrow (A-\lambda*I)*x=0 \end{eqnarray*}$ anwende muss ich doch auf der diagonal mein lamda subtrahieren und diese matrix nun in ZSF bringen oder nicht? um dann das lgs zu lösen.
folgende matrix müsste doch nun in Zsf gebracht werden?:
-2i & 1 & 2 \\ 0 & -2-2i & 0 \\ -2 & 2 & -2i \end{pmatrix} [/latex]

gerade das bekomme ich nicht hin.
oder habe ich noch ein fehler gemacht?

05.01.2012, 23:21

bastixy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2i & 1 & 2 \\ 0 & -2-2i & 0 \\ -2 & 2 & -2i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder wie finde ich das x sonst heraus?
vllt wurde es mir auch nich ganz richtig erklärt.

05.01.2012, 23:24

Kimi_R

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Zitat:

Original von bastixy
aber ich habe doch nun folgende matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich $\begin{eqnarray*} A*x=\lambda*x \Leftrightarrow (A-\lambda*I)*x=0 \end{eqnarray*}$ anwende muss ich doch auf der diagonal mein lamda subtrahieren und diese matrix nun in ZSF bringen oder nicht? um dann das lgs zu lösen.
folgende matrix müsste doch nun in Zsf gebracht werden?:
-2i & 1 & 2 \\ 0 & -2-2i & 0 \\ -2 & 2 & -2i \end{pmatrix} [/latex]

gerade das bekomme ich nicht hin.
oder habe ich noch ein fehler gemacht?

Jetzt versteh ich dein Eingagspost richtig. Dann stimmt dein Eingangspost bis auf 2 kleine Rechenfehler bei den Diagonaleinträgen, die du ja mittlerweile schon selber behoben hast.
Wir haben somit also das LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2i & 1 & 2 \\ 0 & -2-2i & 0 \\ -2 & 2 & -2i \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt du hast nun 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten x_1, x_2 und x_3. Das x ist natürlich komplex

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06.01.2012, 01:08

bastixy

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ja ein teil muss komplex sein, aber ich komme einfach nicht auf die ZSF um die x zu bekommen.
da hängt es bei mir.

06.01.2012, 12:33

bastixy

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könnte jmd hilfe beim umstellen geben bitte?

06.01.2012, 15:31

bastixy

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Ich brauche ja nun den $\begin{eqnarray*} Kern \begin{pmatrix} -2i & 1 & 2 \\ 0 & -2-2i & 0 \\ -2 & 2 & -2i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ um meinen eigenvektor zu bestimmen.
bekomme keine ZSF.
weiß keiner wie man umformen soll?

06.01.2012, 17:31

Kimi_R

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Wieso willst du es eigentlich auf Biegen und Brechen über Zeilenstufenform lösen?
Führe doch einfach mal die Matrixmultiplikatio durch und schau dir die Gleichungen an

06.01.2012, 17:31

bastixy

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bräuchte immenroch hilfe bitte

06.01.2012, 17:49

bastixy

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Habe ja nun 3gleichungen:

1.) $\begin{eqnarray*} -2ix_{1} + x_{2} + 2x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 0 - 2-2ix_{2} + 0 =0 \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} -2x_{1} + 2x_{2} - 2ix_{3} =0 \end{eqnarray*}$

somit ist x_{2}=0

aber bei den anderen komme ich nicht auf die lösung.

06.01.2012, 18:17

Kimi_R

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Zitat:

Original von bastixy
Habe ja nun 3gleichungen:

1.) $\begin{eqnarray*} -2ix_{1} + x_{2} + 2x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 0 - 2-2ix_{2} + 0 =0 \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} -2x_{1} + 2x_{2} - 2ix_{3} =0 \end{eqnarray*}$

somit ist x_{2}=0

aber bei den anderen komme ich nicht auf die lösung.

Dann kannst du das x_2 ja mal aus der 1. und 3. Gleichung streichen (ist ja =0)

1.) $\begin{eqnarray*} -2ix_{1} + 2x_{3} =0 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} -2x_{1} - 2ix_{3} =0 \end{eqnarray*}$

Und damit wirst du ja wohl etwas anzufangen wissen

06.01.2012, 18:47

bastixy

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1.) $\begin{eqnarray*} -2ix_{1} + 2x_{3} =0 \end{eqnarray*}$ /:2
3.) $\begin{eqnarray*} -2x_{1} - 2ix_{3} =0 \end{eqnarray*}$ /:2

1.) $\begin{eqnarray*} -ix_{1} + x_{3} =0 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} -x_{1} - ix_{3} =0 \end{eqnarray*}$

ja und jetz?
1.) $\begin{eqnarray*} ix_{1} = x_{3} \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} x_{1} = - ix_{3} \end{eqnarray*}$

sorry, abe rbin gerad zu blöd. was amche ich jetzt?
durch bissl probieren kommt man schon auf die lösung aber wie mathematisch?

06.01.2012, 20:28

Kimi_R

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Falls es dir noch nicht aufgefallen ist: Es gibt keine eindeutige Lösung. Dein x_2 ist ja null.
x_1 kannst du dir jetzt beliebig wählen und hast dann ja schon da stehen, wie das zugehörige x_3 aussehen muss.

Die Aufgabe besteht nun natürlich darin zu schauen, wieviel linear unabhängige Vektoren du auf diese Weise insgesamt bekommst. Die spannen dann den Eigenraum zum Eigenwert Lambda auf

06.01.2012, 20:34

bastixy

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ja ok. die lösung soll span{-i,0,1} sein.
wenn man es so einsetzt kommt man ja darauf.
aber könnte ja genauso gut andersrum sein oder nicht? {1,0,-i}
das muss doch irgendwie eindeutig zu lösen sein oder nicht?

06.01.2012, 20:40

Kimi_R

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Zitat:

Original von bastixy
ja ok. die lösung soll span{-i,0,1} sein.
wenn man es so einsetzt kommt man ja darauf.
aber könnte ja genauso gut andersrum sein oder nicht? {1,0,-i}
das muss doch irgendwie eindeutig zu lösen sein oder nicht?

Span{(-i,0,1)} = Span{(1,0,i)}

Da gibts keine "eindeutige Lösung." Verschiedene Vektoren können den gleichen Raum aufspannen

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