Betragsungleichung - Fehlersuche

05.01.2012, 19:14

Xm6

Betragsungleichung - Fehlersuche

Hallo ich habe ein Problem mit der unten stehenden Betragsungleichung.
Ich sitze an dieser Aufgabe nun schon eine Weile, deswegen dieser ausführliche Post.
Wo mache ich den Fehler?

Lösungsmenge soll folgende sein:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{L} = (-\infty,0) \setminus \{-2\} \end{eqnarray*}$

Erster Versuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x + 2|} > \frac{1}{1 + | x - 1 |} \end{eqnarray*}$

Fälle:

Fall I: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge x - 1 > 0 \end{eqnarray*}$
Fall II: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge x - 1 < 0 \end{eqnarray*}$
Fall III: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge x - 1 > 0 \end{eqnarray*}$
Fall IV: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge x - 1 < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus\{-2\} \end{eqnarray*}$

Fehler klar, es müssen bei einer Ungleichung nicht nur die Beträge beachtet werden.

Zweiter Versuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x + 2|} > \frac{1}{1 + | x - 1 |} \end{eqnarray*}$

Fälle:

Fall I: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge 1 + x - 1 > 0 \end{eqnarray*}$
Fall II: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge 1 + x - 1 < 0 \end{eqnarray*}$
Fall III: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge 1 + x - 1 > 0 \end{eqnarray*}$
Fall IV: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge 1 + x - 1 < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus\{-2\} \end{eqnarray*}$

Wieder ein Fehler? Aber erstmal die Rechnungen:

Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \equiv x > - 2 \equiv x\in (-2,\infty) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \equiv x < - 2 \equiv x\in (-\infty,-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + x - 1 > 0 \equiv x > 0 \equiv x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + x - 1 < 0 \equiv x < 0 \equiv x\in (-\infty,0) \end{eqnarray*}$

Fallbedingungen:

Fall I: $\begin{eqnarray*} x\in ( -2,\infty)\cap (0,\infty) = (0,\infty) \end{eqnarray*}$
Fall II: $\begin{eqnarray*} x\in ( -2,\infty)\cap (-\infty,0) = (-2,0) \end{eqnarray*}$
Fall III: $\begin{eqnarray*} x\in ( -\infty,-2)\cap (0,\infty) = \emptyset \Rightarrow \mathbb{L}3 = \emptyset \end{eqnarray*}$ **
Fall IV: $\begin{eqnarray*} x\in ( -\infty,-2)\cap (-\infty,0) = (-\infty,-2) \end{eqnarray*}$

**Jedoch kommt beim Lösen des Falles, ein Intervall herraus,
dass der Lösungsmenge ähnelt.

$\begin{eqnarray*} x\in(-\infty,-1) \end{eqnarray*}$

Lösung von Fall I:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{1 + x - 1} \equiv x > x + 2 \equiv 0 > 2 \Rightarrow \mathbb{L}1 = \emptyset \end{eqnarray*}$

Lösung von Fall II:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{1 - x + 1} \equiv -x + 2 < x + 2 \equiv x > 0 \equiv x\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb{L}2 = (0,\infty)\cap(-2,-0) = \emptyset \end{eqnarray*}$

Lösung von Fall IV:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x - 2} > \frac{1}{- x + 2} \equiv -x + 2 > x - 2 \equiv 0 > -4 \equiv x\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb{L}4 = \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb{L} = \emptyset \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge soll folgende sein:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{L} = (-\infty,0) \setminus \{-2\} \end{eqnarray*}$

Okay, also evntl. die falschen Fälle?
Gibts evntl. pro "Betragsfall" von $\begin{eqnarray*} |x + 2| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 + | x - 1| \end{eqnarray*}$ zwei Fälle?
Also 8 insgesamt?

Fälle:

Fall I: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge 1 + |x - 1| > 0 \end{eqnarray*}$
Fall Ia: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge 1 + x - 1 > 0 \end{eqnarray*}$
Fall Ib: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge 1 - x + 1 > 0 \end{eqnarray*}$

Fall II: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge 1 + |x - 1| < 0 \end{eqnarray*}$
Fall IIa: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge 1 + x - 1 < 0 \end{eqnarray*}$
Fall IIb: $\begin{eqnarray*} x + 2 > 0 \wedge 1 - x + 1 < 0 \end{eqnarray*}$

Fall III: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge 1 + |x - 1| > 0 \end{eqnarray*}$
Fall IIIa: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge 1 + x - 1 > 0 \end{eqnarray*}$
Fall IIIb: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge 1 - x + 1 > 0 \end{eqnarray*}$

Fall IV: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge 1 + |x - 1| < 0 \end{eqnarray*}$
Fall IVa: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge 1 + x - 1 < 0 \end{eqnarray*}$
Fall IVb: $\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \wedge 1 - x + 1 < 0 \end{eqnarray*}$

Fall Ia:
Bedingung: $\begin{eqnarray*} x > -2 \wedge x > 0 \equiv x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$

Lösung des Falles:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{1 + x - 1} \equiv x > x + 2 \equiv 0 > 2 \Rightarrow \mathbb{L}1a = \emptyset \end{eqnarray*}$

Fall Ib:
Bedingung: $\begin{eqnarray*} x > -2 \wedge x < 2 \equiv x\in (-2,2) \end{eqnarray*}$

Lösung des Falles:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{-x + 2} \equiv -x + 2 > x + 2 \equiv x < 0 \equiv x\in (-\infty,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb{L}1b = (-\infty,0)\cap (-2,2) = (-2,0) \end{eqnarray*}$

Fall IIa:
Bedingung: $\begin{eqnarray*} x > -2 \wedge x < 0 \equiv x\in (-2,0) \end{eqnarray*}$

Lösung des Falles:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{x} \equiv x < x + 2 \equiv 0 < 2 \Rightarrow \mathbb{L}2a = \emptyset \end{eqnarray*}$

Fall IIb:
Bedingung: $\begin{eqnarray*} x > -2 \wedge x > 2 \equiv x\in (2,\infty) \end{eqnarray*}$

Lösung des Falles:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{-x + 2} \equiv -x + 2 < x + 2 \equiv x > 0 \equiv x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb{L}2b = (0,\infty)\cap (2,\infty) = (2,\infty) \end{eqnarray*}$

Fall IIIa:
Bedingung: $\begin{eqnarray*} x < -2 \wedge x > 0 \equiv x\in \emptyset \Rightarrow \mathbb{L}3a = \emptyset \end{eqnarray*}$

Fall IIIb:
Bedingung: $\begin{eqnarray*} x < -2 \wedge x < 2 \equiv x\in (-\infty,-2) \end{eqnarray*}$

Lösung des Falles:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x - 2} > \frac{1}{-x + 2} \equiv -x + 2 < x + 2 \equiv 0 < -4 \Rightarrow \mathbb{L}3b = \emptyset \end{eqnarray*}$

Fall IVa:
Bedingung: $\begin{eqnarray*} x < -2 \wedge x < 0 \equiv x\in (-\infty,-2) \end{eqnarray*}$

Lösung des Falles:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x - 2} > \frac{1}{x} \equiv x > -x - 2 \equiv 0 > -2 \Rightarrow \mathbb{L}4a = \emptyset \end{eqnarray*}$

Fall IVb:
Bedingung: $\begin{eqnarray*} x < -2 \wedge x > 2 \equiv x\in (-\infty,-2) \equiv x\in \emptyset \Rightarrow \mathbb{L}4b = \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb{L} =(-2,0)\cup (2,\infty) \end{eqnarray*}$

Wenn Ihr bis hier her gelangt seid, dann erstmal danke für eure Mühe und Zeit Augenzwinkern

Gruß XM6

05.01.2012, 21:58

original

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RE: Betragsungleichung - Fehlersuche

Zitat:

Original von Xm6

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x + 2|} > \frac{1}{1 + | x - 1 |} \end{eqnarray*}$

Okay, also evntl. die falschen Fälle?

Wenn Ihr bis hier her gelangt seid, dann erstmal danke für eure Mühe und Zeit Augenzwinkern

also:
du solltest nur folgende drei Fälle genauer untersuchen:

1) x > 1
da ist dann sowohl x-1 > 0 als auch x+2 > 0
und dir bleibt die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{x } \end{eqnarray*}$
und da für gibt es (eben wegen x>1) keine Lösung..

untersuche nun selbst die beiden verbleibenden Fälle:

2) -2<x<1
=>
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{2-x} \end{eqnarray*}$

=> ?

3) x<-2
(wie sieht die zu untersuchende Ungleichung dann aus?)

ok?

05.01.2012, 22:50

Xm6

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RE: Betragsungleichung - Fehlersuche
Hi,

erst einmal danke für deine Mühen und Tipps smile

Also schau ich mir nicht direkt die Beträge an, sondern "nur" x und wie sich dies dann auf die Beträge/Ungleichung auswirkt.

Zitat:

Original von original
2) -2<x<1
=>
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{2-x} \end{eqnarray*}$

=> ?

$\begin{eqnarray*} x\in(-2,0) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von original
3) x<-2
(wie sieht die zu untersuchende Ungleichung dann aus?)

ok?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x - 2} > \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in(-\infty,-2) \rightarrow x\in(-\infty,-2)\cup(-2,0) = (-\infty,0) \end{eqnarray*}$

Jedoch versteh ich gerade nicht, warum es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist?

Wenn x < - 2 ist, bspw. -3, dann steht im Betrag $\begin{eqnarray*} |-3 - 1| = |-4| \end{eqnarray*}$
Was nach Definition des Betrages zu - (- 4) führt.

Also müsste doch eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - (x - 1)} = \frac{1}{2 - x} \end{eqnarray*}$ heißen?

Wo ist da mein Denkfehler?

05.01.2012, 23:13

original

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RE: Betragsungleichung - Fehlersuche

Zitat:

Original von Xm6

Also schau ich mir nicht direkt die Beträge an, sondern "nur" x und wie sich dies dann auf die Beträge/Ungleichung auswirkt.
Nein, du schaust dir die Terme zwischen den Betragszeichen an
und stellst fest, wann haben die einen positiven - oder einen negativen Wert.. usw

Zitat:

Original von original
3) x<-2
(wie sieht die zu untersuchende Ungleichung dann aus?)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x - 2} > \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

nein, nicht so ! - wo hast du das her?

Also müsste doch eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - (x - 1)} = \frac{1}{2 - x} \end{eqnarray*}$ heißen?
ja

also untersuche bei 3) mit x<-2

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x - 2} > \frac{1}{2 - x} \end{eqnarray*}$
..

05.01.2012, 23:27

Xm6

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RE: Betragsungleichung - Fehlersuche

Zitat:

Original von original
also untersuche bei 3) mit x<-2

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x - 2} > \frac{1}{2 - x} \end{eqnarray*}$
..

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{- x - 2} > \frac{1}{2 - x} \equiv 2 - x > - x - 2 \equiv 4 > 0 \rightarrow \emptyset \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von original
[quote]Original von Xm6
nein, nicht so ! - wo hast du das her?

Genau deswegen.

05.01.2012, 23:49

original

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RE: Betragsungleichung - Fehlersuche

Zitat:

Original von Xm6

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{- x - 2} > \frac{1}{2 - x} \equiv 2 - x > - x - 2 \equiv 4 > 0 \rightarrow \emptyset \end{eqnarray*}$ ... geschockt

.. also, du findest ernsthaft , dass 4 > 0 keine wahre Aussage ist... verwirrt

( die sich hier ja für alle x<-2 ergibt...)

.

05.01.2012, 23:55

Xm6

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RE: Betragsungleichung - Fehlersuche

Zitat:

Original von original
.. also, du findest ernsthaft , dass 4 > 0 keine wahre Aussage ist... verwirrt

( die sich hier ja für alle x<-2 ergibt...)
.

Sicher ist das eine wahre Aussage, jedoch bräuchte ich ja ein Ergebnis mit x um ein Intervall bilden zu können?

05.01.2012, 23:58

original

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RE: Betragsungleichung - Fehlersuche
Mann: die Aussage ist :
für alle x<-2 ergibt sich 4>0
also ist deine Ungleichung für alle diese x< -2 erfüllt

06.01.2012, 00:04

Xm6

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RE: Betragsungleichung - Fehlersuche

Zitat:

Original von original
Mann: die Aussage ist :
für alle x<-2 ergibt sich 4>0
also ist deine Ungleichung für alle diese x< -2 erfüllt

... Die Information, dass wenn sich so etwas ergibt und dann nicht für die Lösung in Frage kommt, hab ich, natürlich wie solls anders sein, aus dem Netz...

..Ich hatte alle meine Rechnungen, die darauf kamen deswegen verworfen.. oh mann...

Danke dir für die Geduld, ich hät die Information mal hinterfragen sollen...

Schönen Abend Wink

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