Konvergiert die Folge gegen x?

05.01.2012, 19:31

Chrilo

Konvergiert die Folge gegen x?

Hallo

Wir haben in unserem Matheübungsblatt folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (x_{n}) \end{eqnarray*}$ eine in R konvergente Folge mit Grenzwert x. Zeigen Sie, dass
die Folge

$\begin{eqnarray*} y_{n}:= \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \end{eqnarray*}$

ebenfalls gegen x konvergiert.

Lösungsansatz:

Wir wissen, dass wenn die Folge - Grenzwert eine Nullfolge ist, dass dann die Folge gegen den Grenzwert konvergiert. (Wurde irgendwann ind er Vorlesung bewiesen)

Also schreiben wir:

$\begin{eqnarray*} |y_{n} - x | = |\frac{1}{n}*(x_{1}+x_{2}+....+x_{n}) - x| \end{eqnarray*}$

Doch wie schätzt man das nun richtig weiter damit ich auf eine Nullfolge komme?
Ist der Ansatz überhaupt in Ordnung?

VG

05.01.2012, 20:02

Gast11022013

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Erstmal ne grobe Skizze.

Ja, der Ansatz ist okay.

Nutze, daß die Folge der $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert (was bedeutet das formal ?) und dann splitte die Reihe mal auf.

05.01.2012, 20:17

Chrilo

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Also ich versuchs mal:

$\begin{eqnarray*} |y_{n} - x | = |\frac{1}{n}*(x_{1}+x_{2}+....+x_{i}) - x| \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n}*(x_{1}+x_{2}+....+x_{n})+\frac{1}{n}*(x_{n+1}+x_{n+2}....+x_{i}) - x| \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ weiß ich, dass es gegen 0 konvergiert und der erste Teil gemäß Voraussetzung konvergiert gegen x. Geht das in die richtige Richtung?

05.01.2012, 20:44

Gast11022013

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Nee, so meinte ich's nicht.

Schätze

$\begin{eqnarray*} \vert y_n-x\vert=\left\vert\frac{1}{n}(x_1+...+x_n)-x\right\vert=\frac{1}{n}\vert (x_1+...+x_n)-nx\vert=\frac{1}{n}\vert x_1-x+x_2-x+...+x_n-x\vert \end{eqnarray*}$

nach oben ab, wobei Du benutzt, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_n=x \end{eqnarray*}$ .

06.01.2012, 19:12

Chrilo

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Ok....

Zeigt mir nicht dieser Teil

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n}\vert x_1-x+x_2-x+...+x_n-x\vert \end{eqnarray*}$

das das ganze ne Nulfolge ist?

Weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist ja die "klassische" Nullfolge.
Und wenn ich von jedem Index von x ein x subtrahiere, dann kommt doch auch 0 raus.

Also kann man doch abschätzen das dann alles gegen 0 konvergiert.

Und damit hätte ich ja per Definition gezeigt, das $\begin{eqnarray*} y_{n}:= \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert

06.01.2012, 19:18

Gast11022013

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Zitat:

Und wenn ich von jedem Index von x ein x subtrahiere, dann kommt doch auch 0 raus.

Wieso?!

06.01.2012, 19:33

Chrilo

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Naja uns wurde gesagt wenn man zeigt, dass die Folge, in dem Beispiel

$\begin{eqnarray*} y_{n}:= \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \end{eqnarray*}$ ,

Subtrahiert mit Ihrem Grenzwert, in dem Beispiel $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , eine Nullfolge ergibt,
dann konvergiert die Folge auch gegen den Grenzwert.

Und dies zu zeigen ist ja meine Aufgabe.

06.01.2012, 19:36

Gast11022013

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Das ist schon klar.

Aber Deine Argumentation, wieso das gegen 0 geht, verstehe ich nicht bzw. erscheint mit falsch.

06.01.2012, 19:49

Chrilo

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Zitat:

Aber Deine Argumentation, wieso das gegen 0 geht, verstehe ich nicht bzw. erscheint mit falsch.

Ok das kann sein. Big Laugh

Ich dachte mir wenn ich rechne
$\begin{eqnarray*} x_1-x =0 +<br /> x_2-x = 0<br /> +...+<br /> x_n-x = 0 \end{eqnarray*}$

dann sieht man das egal für welchen Index die Summe immer 0 ergeben wird.

Oder habe ich da was falsch verstanden, dann verbessert mich bitte Big Laugh

06.01.2012, 20:00

Gast11022013

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Wieso sollte denn für jeden Index das gelten?

Du musst ausnutzen, daß die Folge nach Voraussetzung gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert und das bedeutet doch, daß es ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodaß $\begin{eqnarray*} |x_n-x|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ .

Wieso also für jeden Index das gelten soll, was Du behauptest, will mir nicht einleuchten.
Es muss nicht zwangsläufig gelten.

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