Äquivalenz von Dichtheiten (Ordnungstopologie und Topologie allgemein) [Topologie]

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Gartenzaun Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Dichtheiten (Ordnungstopologie und Topologie allgemein) [Topologie]
Meine Frage:
Warum sind folgende Definitionen von Dichtheit äquivalent?
D ist dicht in einer total geordneten Menge M = (M,<) gdw.
a) Jede Umgebung in M einen Punkt aus D enthält
gdw.
b) Es gibt zu allen ein gibt, sodass x < d < y gilt.


Mit a) ist einfach die "normale" Definition gemeint, es könnte genauso "Der Abschluss von M stimmt mit X überein." o.ä. da stehen.

(Quelle der Definitionen: http://de.wikipedia.org/wiki/Dichte_Teilmenge)

Meine Ideen:
"b) => a)" ist klar, denn in jeder Umgebung U liegt wegen der Definition der Ordnungstopologie auch ein nicht-leeres Intervall (x,y) und damit ein welches daher auch in U liegt.

"a) => b)" wäre auch klar, wenn jedes offene Intervall (x,y) mit x<y auch nicht-leer wäre. (Dann gibt es ein , somit ist (x,y) eine Umgebung von z und damit gibt es ein )
Ist allerdings ein Intervall (x,y) leer, so gibt es natürlich kein und damit schon gar kein mit x < d < y.

Ein Beispiel für eine Totalordnung mit leeren offenen Intervall ist die normale Ordnung auf den natürlichen Zahlen.

Danke schonmal! smile
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Dichtheiten (Ordnungstopologie und Topologie allgemein) [Topologie]
Zitat:
Original von Gartenzaun
Ein Beispiel für eine Totalordnung mit leeren offenen Intervall ist die normale Ordnung auf den natürlichen Zahlen.


Hier musst du denke ich genauer hinsehen. Überlege dir präzise was du mit der "normalen Ordnung" meinst.
Gartenzaun Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Dichtheiten (Ordnungstopologie und Topologie allgemein) [Topologie]
Zitat:
Original von pseudo-nym
Zitat:
Original von Gartenzaun
Ein Beispiel für eine Totalordnung mit leeren offenen Intervall ist die normale Ordnung auf den natürlichen Zahlen.


Hier musst du denke ich genauer hinsehen. Überlege dir präzise was du mit der "normalen Ordnung" meinst.


Ok, hab' ich gemacht, leider ist mir dadurch mein Fehler immer noch nicht aufgefallen :/

Mit der normalen Ordnung meine ich , also wenn man die Ordnung als Menge von Tupeln aufffasst ist . (Natürlich ist in dieser Definition .)

Transitivität ist dann klar (das neue k ist die Summe der alten k's), und Totalität gilt auch, denn für natürliche Zahlen m und n ist oder , eines von beiden kann also als k gewählt werden und damit ist oder .
Zu guter Letzt noch die Antisymmetrie, sei also und für natürliche Zahlen n,m,k,l. Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander erhält man und da die beiden natürliche Zahlen sind gilt woraus sofort folgt.

Quelle der Deifnition: http://en.wikipedia.org/wiki/Total_order

In diesem Fall wäre ein offenes leeres Intervall zB

Insbesondere kann man dann in Definition b) x=0 und y=1 wählen, und somit gibt es keine dichten Mengen in .
Nach Definition a) ist aber selbst dicht in .

Was mache ich hier falsch?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Dichtheiten (Ordnungstopologie und Topologie allgemein) [Topologie]
Zitat:
Original von Gartenzaun

Mit der normalen Ordnung meine ich [...]

In diesem Fall wäre ein offenes leeres Intervall zB


Das Problem ist, dass du die betrachtete Ordnung änderst sobald du die Intervalle betrachtest. Wenn du hernimmst, gilt
Gartenzaun Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Dichtheiten (Ordnungstopologie und Topologie allgemein) [Topologie]
Zitat:
Original von pseudo-nym

Das Problem ist, dass du die betrachtete Ordnung änderst sobald du die Intervalle betrachtest. Wenn du hernimmst, gilt

Ok, stimmt, klar, ich hatte gehofft, dass es nur so eine "Kleinigkeit" ist die ich übersehen habe - da die Totalität Reflexivität impliziert sind ja dann automatisch alle Intervalle aller Totalordnungen zwischen verschiedenen Punkten nicht-leer.

Vielen Dank, damit ist mein Problem gelöst! smile
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