Lin. Algebra Optimierungsaufgabe

05.01.2012, 20:50	Mareike0202	Auf diesen Beitrag antworten »
Lin. Algebra Optimierungsaufgabe Meine Frage: Ein Händler verkauft 2 Arten von Nussmischungen: Mischung 1 besteht aus 20 % Cashewnüsse, 30 % Haselnüsse und die zweite Mischung aus 40 % Cashew. und 10 % Haseln. Der Rest besteht bei beiden Gemischen aus Rosinen. Der Händler verkauft Mischung 1 zum Preis von 8 Euro je kg und Mischung 2 für 10 Euro je kg. Ein Vorrat von 40 kg Cashew..., 30 kg Haseln.. und 60 kg Rosinen hat der Händler noch. Der Vorrat an Cashew+ Haselnüssen+ Rosinen soll ohne Zukauf verarbeitet werden. Dies erreicht der Händler dadurch, dass er in Mischung 2 den Anteil der Haselnüsse um t % erhöht und den Anteil der Rosinen um t % verringert. Bestimmen Sie t. Meine Ideen: y<=100-0,5x ist die Ungleichung für Cashew. y<=300-3x für Haselnüsse y<=120-x für Rosinen. Zielfkt. braucht man ja für diesen Aufgabenteil nicht. Bei den Haselnüsse werden die 0,1y erhöht und bei den Rosinen die 0,5y verringert, also liegt t i.wo dazwischen. Mehr kann ich dazu leider nicht produktives beitragen. Kann mir jemand weiterhelfen? Danke
06.01.2012, 01:35	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lin. Algebra Optimierungsaufgabe In Matrix-Schreibweise sieht das Problem ja so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,2 & 0,4 \\ 0,3 & 0,1+t \\ 0,5 & 0,5-t \end{pmatrix}\begin{pmatrix} M_1 \\ M_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 40 \\ 30 \\ 60 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimme $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ in Abh. von t so, dass er möglichst viel verdient. Der Definitionsbereich von t ist natürlich begrenzt. (Um von t auf t% zu kommen mit Hundert malnehmen.)
07.01.2012, 17:55	Mareike0202	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist für mich schwierig zu lösen, mit dem t drin. Komme nur soweit: (0,2..0,4.../40) (0,3..0,1+t/30)2.II-3*III (0,5..0,5-t/60) (0,2..0,4.../40) (0....1-2t/-60) (0....1-8t/30)III+II (0,2..0,4.../40) (0....1-2t/-60) (0....-6t/-30) I.wie weiß ich nicht wie ich noch eine Null dahinbekomme, für die Dreiecksform.
08.01.2012, 01:59	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \left(\begin{matrix} 0,2 & 0,4\\ 0 & -1+2t\\ 0 &1+2t \end{matrix} \left\| \begin{matrix} 40\\ -60 \\ 80\end{matrix} \right)\right. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{matrix} 0,2 & 0,4\\ 0 & -1+2t\\ 0&4t \end{matrix} \left\| \begin{matrix} 40\\ -60 \\ 20\end{matrix} \right)\right. \end{eqnarray}$ Wir haben ja nun ein überbestimmtes Gleichungssystem, d.h. es dürfen keine Widersprüche auftauchen, wenn du die letzte Zeile zur Nullzeile machst (d.h. die unteren beiden Zeilen der erweiterten Matrix müssen linear abh. sein).
08.01.2012, 16:30	Mareike0202	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich jetzt die dritte Zeile -2II Zeile rechne, bleibt stehen: (0,2..0,4.../40) (0.....-1+2t/-60) (0....2....../140) Wenn ich jetzt wieder III+2II hab ich wieder 4 t in Zeile 3 stehen. Also komme ich doch so nicht weiter. Ich bekomme gar keine 0 dahin oder? So ein LGS hatte ich noch nie deshalb tu ich mich i.wie schwer damit Danke
08.01.2012, 23:21	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Untere Zeile "mal 3" und zur mittleren addieren: $\begin{eqnarray} \left(\begin{matrix} 0,2 & 0,4\\ 0 & -1+2t\\ 0&14t-1 \end{matrix} \left\| \begin{matrix} 40\\ -60 \\ 0\end{matrix} \right)\right. \end{eqnarray}$ Was müsste denn eigentlich in der 3. Zeile in der Mitte stehen, damit es Sinn macht? Bestimme t so, dass es keinen Widerspruch gibt, bzw. lösbar ist.
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09.01.2012, 15:17	Mareike0202	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit in der 3. Zeile kein Wiederspruch ensteht müsste 14t-1 auch zu 0 werden, dann stände in der dritten Zeile: (0....0.../0) Damit das geschieht wäre t doch (1/14). Dann ständ dort: 14*(1/14)-1 und das wäre 0 Seh ich das richtig?
09.01.2012, 22:54	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, es gibt nur diese eine Lösung für t. Für ein anderes t würden die drei Spaltenvektoren der Matrix nicht in einer Ebene liegen. Dann wäre der dritte nicht durch die beiden anderen darstellbar.

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