Würfelspiel

06.01.2012, 00:04

Bleagle

Würfelspiel

Hi, ich hab irgendwo mal folgende Aufgabe gelesen (Mathe-Olympiade vll. o.ä.):

Es wird ein Spiel mit einem 6-seitigen Würfel gespielt. Würfelt man 2-6, kommt der jeweilige Betrag aufs Konto, würfelt man eine 1, verliert man alle Punkte der jeweiligen Runde. Man kann aber auch nach jedem Würfeln abbrechen und sich so seine Punkte sichern. (Es geht einfach nur darum möglichst viele Punkte zu sammeln)

Frage: Ab welchem Punktestand würde man einem Spieler raten die Runde abzubrechen?

Überlegungen: Ich glaube die Lösung war:

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sei der aktuelle Punktestand der Runde ( $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ), dann ist $\begin{eqnarray*} E= \frac {2+3+4+5+6-x}{6}= \frac {20-x}{6} \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert der Runde. wenn $\begin{eqnarray*} x \geq 20 \end{eqnarray*}$ dann sollte man also aufhören, da $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sonst negativ wird.

meine Idee:
wenn man punkte macht, macht man im durschnitt $\begin{eqnarray*} \frac {20} {5} =4 \end{eqnarray*}$ , und das jede Runde mit einer Wahrscheinlichtkeit von $\begin{eqnarray*} p=\frac {5} {6} \end{eqnarray*}$ . Die wahrscheinlichkeit in der 2. runde punkte zu machen ist also $\begin{eqnarray*} p²= \frac {25} {36} \end{eqnarray*}$ . nach n Runden ohne 1 hat man dann diese Summe: $\begin{eqnarray*} S_n=4p+4p²+4p³+...+4p^n=4*( \frac {1-p^{n+1}}{1-p}-1) \end{eqnarray*}$ . grenzwert: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} S_n=4*( \frac {1}{1-\frac{5}{6}} -1) = 20 \end{eqnarray*}$ . Also ist 20 der erwartete Punktewert über alle Runden (oder wie drückt man das aus?), wenn man also mehr punkte hat, sollte man aufhören.

meine Frage: ist der beweis ebenso gültig? irgendjemand meinte, das sei nicht ganz korrekt, deshalb frage ich mal hier nach. danke!

06.01.2012, 03:21

frank09

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RE: Würfelspiel
Man könnte den Beweis so stehen lassen, wenn man ihn vernünftig erklärt.
In deinem Beweis spielt die Möglichkeit, aufzuhören bzw. alles zu verlieren keine Rolle.
Das muss es aber auch nicht: der ideale, also bestmögliche Spieler wäre der, der wüsste (vielleicht weil er hellsehen kann?), "Beim nächsten Wurf gehts schief, also hör ich auf."
Er kann also immer seine Punkte mitnehmen und würde pro Runde mit den entsprechenden WKs je 4 Punkte abräumen. Oder: Er hätte einen Trainer, der vorher guckt, was er geworfen hat, und ihm im Falle der Eins rät, diesen Wurf nicht werten zu lassen und aufzuhören. Das wäre der theoretisch allerbeste Spieler und wenn der schon im Schnitt nicht mehr als 20 Punkte holt, kann ich auch bei 20 aufhören.

06.01.2012, 06:39

Dopap

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man kann es auch von der Anzahlseite her betrachten:

Der Erwartungswert der Länge einer Bernoulli-kette der Länge n ist

$\begin{eqnarray*} E(B_n)=n \Bigl( \frac 5 6 \Bigr) ^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(B_n) \end{eqnarray*}$ hat ein Maximum bei 5 oder 6.

Es empfiehlt sich deshalb 6 mal zu würfeln, was erwartungsgemäss 24 Punkten entspricht.

Unterschied: man hört immer nach 6 Würfen auf, egal wie der Punktestand ist.

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Werde beide Strategien mal simulieren...

06.01.2012, 09:12

Huggy

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Zitat:

Original von Dopap
Es empfiehlt sich deshalb 6 mal zu würfeln, was erwartungsgemäss 24 Punkten entspricht.

Unterschied: man hört immer nach 6 Würfen auf, egal wie der Punktestand ist.

Das ist nicht die optimale Strategie. Die optimale Strategie ist ganz oben richtig beschrieben. Man würfelt solange weiter, bis der Erwartungswert für die nächste Runde negativ wird. Ist der Erwartungswert für die nächste Runde 0, kann man noch eine Runde würfeln oder es sein lassen.

Der Erwartungswert wird negativ, wenn die schon erreichte Punktzahl > 20 ist. Das zeigt obige Formel für E. Mehr ist als Begründung nicht nötig. Die nachfolgende Rechnung ist überflüssig und beweist nichts.

08.01.2012, 01:59

Bleagle

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Zitat:

Original von Huggy
Der Erwartungswert wird negativ, wenn die schon erreichte Punktzahl > 20 ist. Das zeigt obige Formel für E. Mehr ist als Begründung nicht nötig. Die nachfolgende Rechnung ist überflüssig und beweist nichts.

natürlich reicht die formel für E als beweis, der ja auch viel schöner ist, meine frage war nur, ob die untere rechnung allein stehen kann. frank09 hat meine rechnung gut begründet:

Zitat:

Original von frank09
Das muss es aber auch nicht: der ideale, also bestmögliche Spieler wäre der, der wüsste (vielleicht weil er hellsehen kann?), "Beim nächsten Wurf gehts schief, also hör ich auf."
Er kann also immer seine Punkte mitnehmen und würde pro Runde mit den entsprechenden WKs je 4 Punkte abräumen. [...] Das wäre der theoretisch allerbeste Spieler und wenn der schon im Schnitt nicht mehr als 20 Punkte holt, kann ich auch bei 20 aufhören.

also beweist die rechnung doch etwas?

08.01.2012, 08:25

Huggy

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In diese Rechnung geht nirgends ein, was passiert, wenn man eine 1 würfelt. Davon hängt aber der Punktstand ab, bei dem man aufhören sollte. Macht man z. B. die Regel: Bei einer 1 ist das Spiel zu Ende und man verliert 80 % der erzielten Punkte, so sollte man bei mehr als 25 Punkten aufhören.

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