Konvergenz von Reihen

13.01.2007, 13:20

Gast123

Konvergenz von Reihen

Hallo, vielleicht kann man mir hier helfen...

a) Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , a>1 und $\begin{eqnarray*} (\alpha_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge natürlicher Zahlen mit $\begin{eqnarray*} 0\leq \alpha_{n}<a \end{eqnarray*}$ . Man zeige, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\alpha_{n} a^{-n} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert.

b) Man konstruiere zu einem beliebigen $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ eine Reihe wie in a) mit $\begin{eqnarray*} x= \sum_{n=1}^\infty~ \alpha_{n} a^{-n} \end{eqnarray*}$ . (Man gebe eine rekursive Definition einer geeigneten Folge $\begin{eqnarray*} (\alpha_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ und beweise damit die Gleichung $\begin{eqnarray*} x= \sum_{n=1}^\infty~ \alpha_{n} a^{-n} \end{eqnarray*}$ )

c) Man formuliere und beweise eine Aussage zur Eindeutigkeit der Darstellung in b).

Zunächst möchte ich die Aufgabe a) in Angriff nehmen, ich weiß hierbei nämlich, dass man es mit dem Majorantenkriterium lösen kann, allerdings habe ich keine Ahnung, wie man das macht...

Ich hoffe, dass ihr mir da einen Tipp geben könnt.

Gast 123

13.01.2007, 13:23

kiste

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Habt ihr bereits bewiesen das
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{a}{n^b} \end{eqnarray*}$
für beliebe Konstanten a und b>1 konvergiert?

13.01.2007, 13:27

Gast123

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Nein haben wir nicht...

13.01.2007, 13:33

kiste

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mhh ok versuch das dann mal in dem du eine Abschätzung der Partialsummen machst und dann zeigst das die beschränkt sind, also konvergieren

13.01.2007, 13:36

Dual Space

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Zitat:

Original von Gast123
Nein haben wir nicht...

Glaub ich nicht, denn das ist Standard. Sicher habt ihr die Divergenz der Harmonischen Reihe bewiesen, oder etwa auch nicht?

13.01.2007, 13:45

Gast123

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Also ich habe nun noch mal geschaut, die harmonische Reihe hatten wir nicht, aber die geometrische... Nützt das vielleicht was?

13.01.2007, 13:49

Dual Space

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Zitat:

Original von Gast123
Also ich habe nun noch mal geschaut, die harmonische Reihe hatten wir nicht, aber die geometrische... Nützt das vielleicht was?

Ja das nützt was.

Versuch mal die gegebene Reihe durch eine geometrische abzuschätzen (majorisieren).

@ kiste: Was hat diese Aufgabe eigentlich mit der von dir genannten Reihe zu tun? verwirrt

13.01.2007, 14:06

Gast123

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Ok, ich habe das mal "irgendwie" versucht, indem ich meine Summe als geomtrische Reihe ausgedrückt habe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\alpha_{n}a^{-n} = \sum_{n=1}^\infty~\frac{\alpha_{n}}{a{n}} \leq \alpha_{n}\frac{1-a^{n+1}}{1-a^{n}} \end{eqnarray*}$

15.01.2007, 20:40

VinSander82

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hab ne aufgabe bekommen, wie's ausschau brauch ich eure hilfe

es sei (ai) i€N eine beschränkte Folge un /x/ < 1. Zeigen sie , dass damit die reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty~aix^{i} \end{eqnarray*}$ konvergiert

16.01.2007, 10:09

klarsoweit

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Du meinst vermutlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty~a_i \cdot x^{i} \end{eqnarray*}$

Betrachte die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{i=1}^n~a_i \cdot x^{i} \end{eqnarray*}$ und zeige durch eine geeignete Abschätzung, daß der Betrag von S_n konvergiert.

PS: Auch hier gilt: mache für ein neues Thema einen neuen Thread auf. Habe deinen Beitrag als Antwort für die Anfrage von Gast123 gehalten und nur zufällig reingeschaut.

19.01.2007, 13:32

VinSander82

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OK , thx

LG vinni

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