Wahrheitsgehalt von Aussagen über Stetigkeit, Beweise

06.01.2012, 10:41

KnowingLizard

Wahrheitsgehalt von Aussagen über Stetigkeit, Beweise

Ich sitze im Moment an einer Aufgabe, in der drei Aussagen bzgl. Stetigkeit stehen, bei denen man entscheiden soll, ob sie wahr oder falsch sind, was man jeweils begründen (d.h. wohl beweisen) soll.
Ich habe jeweils Lösungen, wäre super nett, wenn die jemand von euch durchgehen würde und auf Richtigkeit überprüfen würde. Anregungen, wie man das alles formaler / korrekter formulieren kann, wo man präzisieren sollte oder wie man das alles viel kürzer / einfacher machen könnte, sind natürlich immer willkommen smile

Aussage 1)
Seien die Funktionen / Abbildungen f, g, die von D c C auf IR abbilden, stetig. Dann sind auch die Funktionen:
x -> max {f(x) ,g(x)} und x -> min {f(x), g(x)}
stetig.

Meine Lösung: Die Aussage ist wahr.
Beweis / Begründung: In allen Intervallen X c D, in denen für $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ f(x) > g(x) (bzw. g(x) > f(x)) gilt, ist
max {f(x), g(x)} = f(x) (bzw. max {f(x), g(x)} = g(x) und
min {f(x), g(x)} = g(x) (bzw. max {f(x), g(x)} = f(x)).
Somit sind die beiden zu untersuchenden Funktionen auf allen solchen Intervallen X stetig, da f(x) und g(x) stetig sind.
Für alle $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt zudem, dass
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)=g(x_0)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{g(x)} \end{eqnarray*}$ ,
aus diesem Grund sind die beiden Funktionen auch in allen diesen Punkten $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und damit auf ganz D stetig.

Aussage 2)
$\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , Sei $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Familie stetiger Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ : D -> $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f_n(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sup_{n}f_n(x) \end{eqnarray*}$ stetig.

Meine Lösung: Die Aussage ist wahr (allerdings ist mir nicht klar, was wieso dafür $\begin{eqnarray*} |f_n(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ benötigt werden soll, vielleicht liege ich daher auch völlig falsch...).
"Beweis" / "Begründung": Ich weiß nicht, ob nicht vielleicht eine Induktion über die Anzahl der Funktionen geschickter wäre, aber ich hab's jetzt mal anders begründet / bewiesen:
In allen Intervallen $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ in denen $\begin{eqnarray*} \sup_{n}f_n(x) = f_k (x) \end{eqnarray*}$ für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sup_{n}f_n(x) \end{eqnarray*}$ stetig, da $\begin{eqnarray*} f_k (x) \end{eqnarray*}$ stetig ist. Zu dem gilt an den Grenzen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zweier solche Intervalle mit unterschiedlichem k (im Folgenden als $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ bezeichnet), dass
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f_{k_1}(x)}=f_{k_1}(x_0)=f_{k_2}(x_0)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f_{k_2}(x)} \end{eqnarray*}$ .
Aus diesem Grund ist $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sup_{n}f_n(x) \end{eqnarray*}$ also auch an den Grenzen zweier solche Intervalle stetig und damit auf ganz D.

Aussage 3) Jede Funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \cup \left\{ 2\right\} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist stetig in x = 2.

Meine Lösung: Wahr, denn die Definition von Stetigkeit in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ lautet ja, dass für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass
$\begin{eqnarray*} y \in D, |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x) - f(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun z.B. $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ wähle, dann existiert in obiger Definition ja schonmal gar kein y in der Deltaumgebung um x, so dass für dieses Delta die linke Seite meiner Implikation immer falsch ist, wodurch die Implikation / Aussage als Ganzes immer wahr ist, oder nicht? D.h. egal welches Epsilon ich wähle, für dieses Delta ist die Definition von Stetigkeit immer "erfüllt" im Sinne, dass die zugehörige Aussage wahr ist.

Vielen Dank für's Lesen und Denken smile

06.01.2012, 17:55

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 1) liegst du richtig, der Beweis stimmt auch im Prinzip, nur ist die Begründung teilweise etwas unvollständig. Zum Beispiel: Warum lässt sich die Menge der Punkte, bei denen f>g oder g>f ist, als Vereinigung von (offenen) Intervallen darstellen? Es müssen auch offene Intervalle sein, damit man so aus der Stetigkeit von f bzw. g die Stetigkeit von max(f,g) in diesen Punkten folgern kann.
Die Begründung, warum max(f,g) bei Stellen mit f=g stetig ist, ist auch etwas schwammig.

Bei 3) liegst du falsch. Es gibt nicht solche Intervalle. Insbesondere muss $\begin{eqnarray*} \sup_n f_n(x) \end{eqnarray*}$ auch nicht für jedes x gleich einem der $\begin{eqnarray*} f_k(x) \end{eqnarray*}$ sein. (Das $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist übrigens, damit das sup überhaupt existiert.)
Betrachte Funktionen $\begin{eqnarray*} f_k:[0,1]\to [0,1] \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,\frac{1}{2}-\frac{1}{k+1}]\cup[\frac{1}{2}+\frac{1}{k+1},1] \end{eqnarray*}$ gleich 1 ist, $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Null ist und sonst irgendwie stetig verbunden. Was ist dann $\begin{eqnarray*} \sup f \end{eqnarray*}$ ?

Bei 3) ist alles richtig.

06.01.2012, 19:32

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Werde mich wohl erst morgen wieder genauer damit befassen, da ich im Moment nicht die Zeit dazu habe, aber heißt deine Anmerkung bei 2) jetzt nur, dass mein Beweis Unsinn ist (was zu erwarten war Augenzwinkern

), oder auch, dass die Behauptung an sich falsch ist? smile

07.01.2012, 03:02

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird dir klar werden, wenn du dir das von mir gegebene Beispiel angesehen hast. smile

07.01.2012, 10:27

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm also ich glaube, ich verstehe es noch immer nicht oder zumindest nicht richtig...

Ich frage mich gerade sowieso, ob in einer solchen Familie von Funktionen die Anzahl der Funktionen endlich sein muss oder auch (abzählbar) unendlich sein kann? Ich glaube, das ist eine Schlüsselinformation, die mir im Moment noch fehlt smile

Wenn sie auch unendlich sein kann, dann wäre mein Supremum in deinem Beispiel ja letztlich ersichtlich, wenn ich k gegen unendlich streben lasse, oder nicht? Dann wäre die kleinste obere Schranke im Intervall [0,1] überall außer an der Stelle x = 1/2 geich 1 und an der Stelle x = 1/2 gleich null. Dann wäre $\begin{eqnarray*} \sup_n (f_n) \end{eqnarray*}$ offensichtlich nicht stetig, und zwar an der Stelle x = 1/2 nicht, begründbar z.B. damit, dass $\begin{eqnarray*} 1 = \lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}}{\sup_n (f_n)(x)} \neq \sup_n (f_n)(\frac{1}{2}) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, oder? (Dass der Grenzwert an der Stelle gleich dem Funktionswert ist, ist ja eine äquivalente Aussage zur Definition von Stetigkeit, oder nicht?)

Dann würde auch das mit dem Betrag <= 1 Sinn machen, da ich ja sonst eine Familie von Funktionen basteln könnte, die letztlich irgendwo gegen unendlich geht, wodurch dann das Supremum nicht existieren würde, also z.B. (nun völlig ohne Kontext) $\begin{eqnarray*} f_n (x) = x^n \end{eqnarray*}$ , oder?

Nun nochmal kurz zu deinen Anmerkungen bzgl. Aussage 1: smile

Zitat:

Die Begründung, warum max(f,g) bei Stellen mit f=g stetig ist, ist auch etwas schwammig

Ich schrieb ja:

Zitat:

Für alle $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt zudem, dass
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)=g(x_0)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{g(x)} \end{eqnarray*}$ ,

Dabei gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0) \end{eqnarray*}$ ja wegen der Stetigkeit von f, das Pendant mit g gilt ebenso, weil g stetig ist nach Voraussetzung. An einer Stelle an der $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ ist, entspricht damit, egal welche Funktion rechts oder links von der Stelle größer oder kleiner als die andere ist, der Grenzwert an dieser Stelle der max{} und der min{} Funktion auf jeden Fall dem Funktionswert der min{} bzw. max{} Funktion an der Stelle, weshalb die max{} bzw. min{} Funktion an der Stelle stetig ist, oder?

Zitat:

Warum lässt sich die Menge der Punkte, bei denen f>g oder g>f ist, als Vereinigung von (offenen) Intervallen darstellen?

Naja, bei genau zwei Funktionen können ja drei Fälle auftreten: Eine kann größer oder kleiner als die andere sein oder sie können gleich groß sein. Alle Bereiche, in denen eine größer oder kleiner als die andere ist, müssen, da die Funktionen stetig sind (-> Zwischenwertsatz) durch Stellen begrenzt werden, in denen beide gleich groß sind. Damit sind die Bereiche zwischen solchen Stellen natürlich offene Intervalle (oder Vereinigungen derselben) - und auf diesen ist die Funktion dann auch stetig.
Was ich noch nicht ganz verstehe: Warum müssen es offene Intervalle sein?

07.01.2012, 14:12

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KnowingLizard
Ich frage mich gerade sowieso, ob in einer solchen Familie von Funktionen die Anzahl der Funktionen endlich sein muss oder auch (abzählbar) unendlich sein kann? Ich glaube, das ist eine Schlüsselinformation, die mir im Moment noch fehlt smile

Aus der Aufgabenstellung:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Familie stetiger Funktionen

Es sind also abzählbar unendlich viele, nämlich für jede natürliche Zahl eine.

Zitat:

Wenn sie auch unendlich sein kann, dann wäre mein Supremum in deinem Beispiel ja letztlich ersichtlich, wenn ich k gegen unendlich streben lasse, oder nicht?

Nicht unbedingt. Es wird einfach für jede Stelle x aus dem Definitionsbereich die Menge $\begin{eqnarray*} \{f_k(x)\, |\, k\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ betrachtet und ihr Supremum gebildet. Dieses Supremum könnte durchaus gleich einem der Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f_k(x) \end{eqnarray*}$ sein, muss aber nicht. Es muss auch nicht $\begin{eqnarray*} f_k(x) \end{eqnarray*}$ konvergieren. Einfach nur das Supremum einer Menge von Zahlen.

Zitat:

Dann wäre die kleinste obere Schranke im Intervall [0,1] überall außer an der Stelle x = 1/2 geich 1 und an der Stelle x = 1/2 gleich null.
Dann wäre $\begin{eqnarray*} \sup_n (f_n) \end{eqnarray*}$ offensichtlich nicht stetig, und zwar an der Stelle x = 1/2 nicht, begründbar z.B. damit, dass $\begin{eqnarray*} 1 = \lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}}{\sup_n (f_n)(x)} \neq \sup_n (f_n)(\frac{1}{2}) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, oder? (Dass der Grenzwert an der Stelle gleich dem Funktionswert ist, ist ja eine äquivalente Aussage zur Definition von Stetigkeit, oder nicht?)

Das stimmt.

Zitat:

Dann würde auch das mit dem Betrag <= 1 Sinn machen, da ich ja sonst eine Familie von Funktionen basteln könnte, die letztlich irgendwo gegen unendlich geht, wodurch dann das Supremum nicht existieren würde, also z.B. (nun völlig ohne Kontext) $\begin{eqnarray*} f_n (x) = x^n \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja.

Zitat:

Ich schrieb ja:

Zitat:

Ok, jetzt verstehe ich deine Begründung. Das ist aber durch die Formeln noch nicht ausgedrückt. Man müsste so etwas sagen wie: Sei links von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ f größer als g. Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow x_0} \max(f,g)(x)=\lim_{x\uparrow x_0} f(x) =f(x_0). \end{eqnarray*}$ Sonst $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow x_0} \max(f,g)(x)=g(x_0)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ Analog für den rechtsseitigen Grenzwert, sodass insgesamt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\max(f,g)(x)=f(x_0)=\max(f,g)(x_0) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Warum lässt sich die Menge der Punkte, bei denen f>g oder g>f ist, als Vereinigung von (offenen) Intervallen darstellen?

Ich sehe noch nicht, wie daraus folgt, dass diese Bereiche Intervalle sind. Du hast bis jetzt nur gesagt, dass für 2 Punkte, von denen einer in der Menge liegt wo f>g gilt und der andere in der Menge mit g>f, dazwischen ein Punkt liegt bei dem f=g.
Das entscheidende Argument ist, dass an einer Stelle x mit f(x)>g(x), sagen wir $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)=\varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ , nach Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ auch eine (offene intervallförmige) Umgebung von x existiert, in der $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)>\frac{\varepsilon}{2}>0 \end{eqnarray*}$ gilt. Analog für g>f.

Zitat:

Was ich noch nicht ganz verstehe: Warum müssen es offene Intervalle sein?

Sagen wir du willst Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \max(f,g) \end{eqnarray*}$ im Punkt x untersuchen. Dann brauchst du auf jeden Fall Information über das Verhalten (die Funktionswerte) von $\begin{eqnarray*} \max(f,g) \end{eqnarray*}$ in einer gewissen (beliebig klein wählbaren) offenen Umgebung von x. Wenn man z.B. wüsste, dass $\begin{eqnarray*} \max(f,g) \end{eqnarray*}$ nur für das abgeschlossene Intervall [0,1] mit einer gewissen anderen Funktion übereinstimmte, dann könnte man aus Stetigkeit dieser Funktion im Punkt 0 nicht Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \max(f,g) \end{eqnarray*}$ im Punkt 0 schließen, da man dazu ja auch die Funktionswerte bei Stellen links von 0 kennen muss. (sofern f und g links von 0 definiert sind)

Nun habe ich gesehen, dass in der Aufgabenstellung zu 2) steht, dass der Definitionsbereich eine Teilmenge von IC und nicht von IR sein soll. Das hatte ich übersehen, weil du gleich von Intervallen geredet hast. Das mit den Intervallen ergibt dann natürlich keinen Sinn. Aber man kann im Prinzip genauso argumentieren: Die Mengen wo f>g bzw. g>f sind nämlich offen in C.

07.01.2012, 15:10

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, wunderbar, jetzt habe ich denke ich soweit alles verstanden smile

(zumindest alles, was mir gerade einfällt, was ich noch verstehen wollte Augenzwinkern

)

Das mit dem komplexen Definitionsbereich hatte ich leider wohl auch nach dem Lesen der Aufgabenstellung direkt wieder vergessen :/ Liegt wohl daran, dass wir in der Vorlesung zwar alles auch auf's Komplexe bezogen haben, aber dann doch meist oder eigentlich bisher immer, wenn's konkret wurde, doch wieder in IR gearbeitet haben, da wird das zum Automatismus...

Für die Lösung von Aufgabenteil 2) macht das ja keinen wirklichen Unterschied, weil die Bildmenge ja IR ist, d.h. mit einem entsprechenden Gegenbeispiel (also sowas wie deines von oben) kann ich die Aussage ja ohne den Begriff Intervalle widerlegen.

Nur... jetzt bleibt noch eine finale Frage übrig. Wie drücke ich das dann denn im Endeffekt formal aus bei Aufgabenteil 1? Die Idee ist mir inzwischen durchaus klar - insbesondere in IR und mit Intervallen. Nur wie lauten überhaupt die entsprechenden Begrifflichkeiten in IC? Wie gesagt, wenn's konkret wurde haben wir bisher leider immer dann doch nur in IR gearbeitet. Spreche ich dann einfach von offenen Teilmengen von IC, in denen meine min- bzw. max-Funktion stetig ist (also die Teilmengen von IC in denen eben wie bereits oben gesagt f>g oder g>f) anstatt von offenen Intervallen? Die Erklärung von dir oben würde dann ja immernoch passen (das hatten wir sogar als Satz, hatte mich schon länger gefragt, wann der endlich mal Anwendung findet Hammer

), ebenso die präzisierte Begründung, warum die Funktion dann auch an diesen Übergangspunkten stetig ist (der Begriff Punkt würde dann ja auch in IC passen).

08.01.2012, 10:34

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nur... jetzt bleibt noch eine finale Frage übrig. Wie drücke ich das dann denn im Endeffekt formal aus bei Aufgabenteil 1? Die Idee ist mir inzwischen durchaus klar - insbesondere in IR und mit Intervallen. Nur wie lauten überhaupt die entsprechenden Begrifflichkeiten in IC? Wie gesagt, wenn's konkret wurde haben wir bisher leider immer dann doch nur in IR gearbeitet. Spreche ich dann einfach von offenen Teilmengen von IC, in denen meine min- bzw. max-Funktion stetig ist (also die Teilmengen von IC in denen eben wie bereits oben gesagt f>g oder g>f) anstatt von offenen Intervallen? Die Erklärung von dir oben würde dann ja immernoch passen (das hatten wir sogar als Satz, hatte mich schon länger gefragt, wann der endlich mal Anwendung findet Hammer ), ebenso die präzisierte Begründung, warum die Funktion dann auch an diesen Übergangspunkten stetig ist (der Begriff Punkt würde dann ja auch in IC passen).

Die offenen Mengen in C haben keinen anderen Namen außer offene Mengen. (Wobei das Analogon von offenen Intervallen die sog. Gebiete wären, aber das wird hier nicht wirklich gebraucht.)
Die Begründung für Stetigkeit für x mit f(x)=g(x) ist dann ein bisschen anders als die von mir genannte in IR. Man kann aber anstatt mit links- und rechtsseitigem Grenzwert loszulegen (was ja in C keinen Sinn ergibt und es gibt auch kein Analogon), für eine Folge von Punkten, die gegen x konvergiert, sich die Teilfolge der Punkte, bei denen f>g und die Teilfolge der Punkte bei denen g>f ist ansehen.

Neue Frage »

Antworten »

Wahrheitsgehalt von Aussagen über Stetigkeit, Beweise

Verwandte Themen