Fouriertransformation

13.01.2007, 13:26

Parabelflug

Fouriertransformation

Hi,

kann mir jemand zur folgender Aufgabe eine Hilfestellung geben?

Man soll die Fouriertransformation auf $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-\vert x \vert} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Ich hab leider noch nie so etwas gemacht, mein bisheriger Ansatz war:

$\begin{eqnarray*} \hat{f} (k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}} \, \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\vert x \vert } \, e^{- i \, k \, x} \, dx \end{eqnarray*}$

Also einfach nur einsetzen in die Definition.

Doch wie berechne ich nun dieses Integral? Oder gibt es eine andere Möglichkeit?

Danke

13.01.2007, 13:30

Dual Space

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Parabelflug
Man soll die Fouriertransformation auf $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-\vert x \vert} \end{eqnarray*}$ anwenden.

... um was zu machen? Oft ist es nicht notwendig das Integral der Transformierten auszurechenn.

13.01.2007, 13:50

Harry Done

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Kleiner Tipp:

Schreibe $\begin{eqnarray*} e^{-\mid x \mid} \end{eqnarray*}$ als stückweise definierte Funktion:

$\begin{eqnarray*} e^{-\mid x \mid}=\begin{cases} e^x, & -\infty \leq x\leq 0\\ e^{-x}, & 0 \leq x\leq +\infty \end{cases} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du das Ganze stückweise integrieren und du erhälst die Lösung.

Gruß Jan

13.01.2007, 17:08

Parabelflug

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Vielen Dank,

der Tipp hat mir wirklich sehr weitergeholfen. Hab $\begin{eqnarray*} \hat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\, \pi}} \, \dfrac{2}{1+k^2} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Jetzt habe ich allerdings ein neues Problem, hier mein Lösungs-"Versuch":

Wieder eine Fourier-Transformation anwenden und zwar auf $\begin{eqnarray*} f(x) = \dfrac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{f}(k) = \, \int_{\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^2} \, e^{-i \, k \, x} dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) := \dfrac{1}{1+x^2} \, e^{-i \, k \, x} \end{eqnarray*}$
Idee: Residuensatz anwenden
1. Fall: k<0
$\begin{eqnarray*} Res_{i} g(x) = \dfrac{e^{k}}{2\,i} \Rightarrow \hat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \, \pi}} \cdot 2 \pi \, i \cdot \dfrac{e^{k}}{2\,i} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \, \pi}} \, \pi \, e^{k} \end{eqnarray*}$
2. Fall: k>0
$\begin{eqnarray*} Res_{i} g(x) = \lim_{x \to i} \dfrac{1}{(2 \, x - i \, k \, (1+x^2) ) e^{-i \,k \, x }} = \dfrac{e^{-k}}{2\,i} \Rightarrow \hat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \, \pi}} \cdot 2 \pi \, i \cdot \dfrac{e^{-k}}{2\,i} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \, \pi}} \, \pi \, e^{-k} \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?
Ich weiß leider nicht ob das so stimmt und vor allem was ich mit dem Fall k=0 anstellen soll.

Danke

13.01.2007, 17:41

Harry Done

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Irgendwie hast du den Resuidensatz nicht richtig angewendet:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\{f(x)\}=2\pi i(\mathcal{R}1+\mathcal{R}2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{R}1=\lim_{x \to i} \frac{(x-i)e^{-ikx}}{(x+i)(x-i)} \end{eqnarray*}$

Analog für $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}2 \end{eqnarray*}$ bekomme ich dann für die Trafo:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\{f(x)\}=\begin{cases} \pi e^{k}, & k<0 \\ \pi e^{-k}, & k>0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Für k=0 weiß ich nicht genau, aber ich glaube an der Stelle ist F(k) undefiniert (nehme ich zurück, siehe edit), bzw. wüßte ich jetzt nicht genau, wie man das berechnet.

Gruß Jan

edit: Ich würde aber sagen, dass für k=0 F(k)=pi gilt, weil sowohl der Grenzwert von links gegen Null, als auch der Grenzwert von rechts gegen Null Pi ergibt.

15.01.2007, 19:00

Parabelflug

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Danke für die Hilfe smile

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