Stochastische Konvergenz

06.01.2012, 14:28	loyloep	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Konvergenz Betrachte die Folge von Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X_n = 1)= \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} Y = 0 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} P(Y=0) =1 \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ in Verteilung gegen $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ konvergiert, d.h. es gilt $\begin{eqnarray} X_n \xrightarrow{in Verteilung} Y \end{eqnarray}$ . Zeichnen Sie die Verteilungsfunktionen von $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . b) Prüfen Sie, ob $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ auch in Wahrscheinlichkeit gegen $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ konvergiert. Ich verstehe die Aufgabe so, dass die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ diskrete ZV sind, die nur die Werte 0 oder 1 mit den oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten annehmen können. Gemäß Aufgabenteil a) ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} F_{X_n}(x) = F_Y (x) \end{eqnarray}$ Für die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ erhalte ich folgende Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} <br /> F_Y(x)=\begin{cases} 0, & \text{falls } x < 0 \\<br /> 1, & \text{falls } 1 \leq x <br /> \end{cases}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Für die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ erhalte ich folgende Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} <br /> F_{X_n}(x)=\begin{cases} 0, & \text{falls } x < 0 \\<br /> 1-\frac{1}{n}, & \text{falls } 0 \leq x < 1 \\<br /> 1, & \text{falls } 1 \leq x <br /> \end{cases}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ 1. Fall $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} F_{X_n}(x) = 0 = F_Y (x). \end{eqnarray}$ 2. Fall $\begin{eqnarray} 0 \leq x < 1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} F_{X_n}(x) = 0 \neq 1 = F_Y (x) \end{eqnarray}$ . 3. Fall $\begin{eqnarray} 1 \leq x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} F_{X_n}(x) = 1 = F_Y (x) \end{eqnarray}$ . Wegen Fall 2 konvergiert $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ nicht in Verteilung gegen $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Wo ist der Fehler? Es soll ja in Verteilung konvergieren.
06.01.2012, 14:40	loyloep	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe den Fehler gefunden die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_Y(x) \end{eqnarray}$ muss lauten: $\begin{eqnarray} F_Y(x)=\begin{cases} 0, & \text{falls } x < 0 \\<br /> 1, & \text{falls } 0 \leq x < 1 \\<br /> 1, & \text{falls } 1 \leq x<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$

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