Verständnisproblem mit Determinanten

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Homer42 Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisproblem mit Determinanten
Hallo zusammen!

stecke gerade in der Prüfungsvorbereitung und wollte fragen, ob mir jemand bei meinem Problem mit den Determinanten behilflich sein kann. Mir hapert es einfach ein wenig am Grundverständnis:

Was ich weiß bzw. glaube zu wissen (bitte räumt mit Fehleinschätzungen gnadenlos auf):


- Die Determinanten beschreiben u.a. eine Art Verzerrung des Volumens

- Die determinante ist eine Art von Zuordnung einer Zahl zu einer Matrix A

- Berechnung von Determinanten 1x1, 2x2, 3x3 sind relativ simpel und leuchten mir auch ein (sarrus)

- Determinanten nxn höherer ordnung werden durch die Formel
http://upload.wikimedia.org/math/a/6/e/a6eb6455927f82dbba7780d6372a2399.png
dargestellt.

Wobei sigma 1 ist für die gerade Anzahl der Permutationen, -1 für die ungerade Anzahl.

Meine Frage: Woher weiß ich das. also wenn ich eine Matrix sehe, woher weiß ich dann, was die Anzahl der Permutationen ist.

Wie berechne ich zum Beispiel die Determinante der Matrix:



oder




vielen vielen dank für jede Hilfe!! smile
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich recht entsinne, hat die Determiantenfunktion sogar Homomorphismus-Eigenschaften und man könnte beispielsweise die beiden Homomorphiesätze drauf anwenden. (Das musste ich in meiner Zwischenprüfung machen)

Die Nähe zum Volumen ist richtig.

Die Formel, welche du zur Berechnung angegeben hast, ist quasi die Definition der Determinante, aber ich finde sie für den "alltäglichen" Gebrauch ziemlich unschön.

Ich empfehle den Laplace'schen Entwicklungssatz.

Versuch mal damit, die Determinante der von dir angegebenen Matrizen zu berechnen.


Grüße!
Homer42 Auf diesen Beitrag antworten »

danke!!
das hat mir schonmal sehr geholfen Freude


demnach ist die determinante des ersten -181 und die des zweiten 48???

(kann verstehen dass keiner bock hat das nachzurechnen)

da kommen mir 2 weitere fragen:

1) Kann eine Determinante negativ sein?
2) Das heißt, bei z.B. 5x5 Matrizen muss ist als Nebenrechnung jeweils noch die einzelnen 4x4 und weiter die einzelnen 3x3 Matrizen ausrechnen??

Gibt es dafür einfachere Wege bzw. Tricks?
Der Algorithmus von Laplace hilft mir schon sehr (nochmals danke!), trotzdem würde ich den anderen gerne verstehen. Wie genau kann ich sehen, wie viele Permutationen bzw. Transpositionen innerhalb der Matrix vorhanden sind? smile


edit: schmonk, wie gnadenlos geil ist denn eigentlich deine sig??? Big Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(kann verstehen dass keiner bock hat das nachzurechnen)

richtig Big Laugh

Zitat:
1) Kann eine Determinante negativ sein?
2) Das heißt, bei z.B. 5x5 Matrizen muss ist als Nebenrechnung jeweils noch die einzelnen 4x4 und weiter die einzelnen 3x3 Matrizen ausrechnen??


1)Ja. Beispiel: Die Determinaten von der 1x1-Matrix (a) ist eben einfach a. Und wenn a negativ ist, ist es die Determinante auch.
2)Im Grunde ja.

Zitat:
Gibt es dafür einfachere Wege bzw. Tricks?

Du kannst die Matrix vorher umformen, ohne dass sich die Determinante ändern. Im Grunde kannst du den Gaußalgorithmus anwenden. Wenn du dann in einer Spalte oder Zeile nur noch einen von Null verschiedenen Wert hast, ist der Entwicklungssatz plötzlich noch viel sympathischer.

Zitat:
Wie genau kann ich sehen, wie viele Permutationen bzw. Transpositionen innerhalb der Matrix vorhanden sind? smile


Das kann ich nicht sehr gut erklären, aber sicherlich jemand anderes hier im board.

Grüße!
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie genau kann ich sehen, wie viele Permutationen bzw. Transpositionen innerhalb der Matrix vorhanden sind?


Zunächst mal sollte man wissen, dass die Determinante der Einheitsmatrix 1 ist (definitionsgemäß).

Du musst dir im folgenden die s als die Spalten einer n x n Matrix vorstellen.

Prinzipiell ist die Determinante eine Funktion , für die gilt:

ist n-linear

d.h. und



für und , und K ein beliebiger Körper.

außerdem ist alternierend, d.h.:



was nichts anderes bedeutet, als: Vorzeichenwechsel bei Vertauschung von Spalten. (bzw. Zeilen)

Wegen der n-Lineareität kannst du nun die Determinante der ursprünglichen n x n Matrix "aufspalten" und Faktoren herausziehen:

Beispiel:



Dann ziehst du einfach (wieder wegen n-Linearität) die einzelnen Einträge nach vor und bekommst so die einzelnen Summanden, die sehen z.B. so aus:



und die Determinante der Einheitsmatrix kennen wir.

Außerdem kann man für n-Linearformen zeigen, dass:



d.h. Wenn 2 Spalten einer Matrix gleich sind, so ist die Determinante 0.

Folglich fallen in der Summe alle Summanden weg, die keine Permutationen sind (Warum?).

Übrig bleiben also n! Summanden, wobei das Vorzeichen bestimmt ist durch die Permutation der Einheitsmatrix (weil die Determinante eine "alternierende" n-Linearform ist).
Mach dir das alles am besten im Falle einer 2 x 2 matrix klar:

Gruß Armin

EDIT: Die erste Determinante, die du berechnet hast, ist falsch
Homer42 Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE!!
Ich beginne zu verstehen. Einiges ist mir jedoch noch unklar:


Zitat:
Prinzipiell ist die Determinante eine Funktion , für die gilt:

ist n-linear

d.h. und




habe vll gerade ein brett vor dem kopf, das "r+" bzw. "+x" bezieht sich ja jeweils nur auf oder? verändern sie die restlichen denn garnicht, wenn r VOR steht bzw. beim unteren die beiden addiert werden?


Zitat:


Wegen der n-Lineareität kannst du nun die Determinante der ursprünglichen n x n Matrix "aufspalten" und Faktoren herausziehen:

Beispiel:




soweit klar, ABER:

Zitat:
Dann ziehst du einfach (wieder wegen n-Linearität) die einzelnen Einträge nach vor und bekommst so die einzelnen Summanden, die sehen z.B. so aus:



Diesen Schritt verstehe ich nicht 100%ig. Wieso sieht das Ergebnis so aus und warum mache ich das?

Zitat:
Folglich fallen in der Summe alle Summanden weg, die keine Permutationen sind (Warum?).


Ja: warum? und in welcher summer genau? sorry falls das eine völlig hohle frage ist smile

Zitat:
Übrig bleiben also n! Summanden, wobei das Vorzeichen bestimmt ist durch die Permutation der Einheitsmatrix (weil die Determinante eine "alternierende" n-Linearform ist).


Also: Ich ziehe den von dir oben beschriebenen Schritt durch, so dass da dann sowas steht wie und schaue dann einfach, wie viele Spalten in der einheitsmatrix vertauscht sind, also wieviele Permutationen stattfinden?? stimmt das?
Falls ja, rechne ich also einfach die (in diesem Fall) aus und multipliziere sie dann je nach entstandener Einheitsmatrix evtl mit (-1).
Dann fehlt mir nurnoch das oben beschriebene Problem, WIE ich diese Faktoren genau herausziehe.

Zitat:
EDIT: Die erste Determinante, die du berechnet hast, ist falsch

stimmt denn die zweite? dann habe ich nämlich wenigstens das prinzip von laplace verstanden und übe das einfach noch ein biserl smile


VIELEN VIELEN DANK FÜR DIE MÜHE!!!!!! Freude Freude Freude

edit: formatierung verbessert
 
 
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die zweite stimmt. Bei der ersten komme ich auf -47,5. Aber ich finde die Matrix schreit förmlich nach Rechenfehlern, daher auch dieses Ergebnis ohne Feuerwaffe.
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

Sehen wir uns mal den 2 x 2 Fall an:



Da (wie angedeutet) der erste und letzte Summand 0 sind (das folgt ebenfalls aus der n-Linearität, wäre ne gute Übung das zu beweisen), bleiben nur noch die zwei mittleren Summanden. Bei denen kann man (wegen der zweiten Bedingung zur n-Linearität) den Faktor herausheben.

Übrig bleibt also:



Da die Determinante eine "alternierende" n-Linearform ist gilt nun:

wobei die die Einheitsvektoren sind.

Definitionsgemäß gilt nun: , also .

und wir bekommen die bekannte Formel für 2 x 2 Matrizen:

Zitat:
und schaue dann einfach, wie viele Spalten in der einheitsmatrix vertauscht sind, also wieviele Permutationen stattfinden?? stimmt das?


Richtig!

Zur Berechnung ist diese Formel, wie Schmonk bemerkte, eher nicht geeignet. Für 4 X 4 Matrizen sind schon 4! = 24 Summanden zu betrachten. Numerisch ist vermutlich die Pivotformel, falls dir das was sagt, am vernünftigsten.

Gruß Armin
Homer42 Auf diesen Beitrag antworten »

super jetzt hab ichs. vielen vielen dank! pivot schau ich mir mal an Freude Freude Freude
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